Represente os conjuntos abaixo por extensão, listando todos os seus elementos:
C=\left\{x^{2} \mid x \in Z \wedge-10<x<10\right\}

Passo 1

O enunciado pede para representar por extensão (ou seja, listar todos os elementos) do conjunto
C=\{x^{2}\mid x\in \mathbb{Z}\wedge -10<x<10\}.
Informações dadas:
  • A expressão \mathbb{Z} significa o conjunto dos inteiros.
  • A condição -10<x<10 é estrita (os extremos -10 e 10 não estão incluídos).
  • O gerador do conjunto é x^{2}, ou seja, para cada inteiro x que satisfaça a condição, incluímos o número x^{2} em C.
    A tarefa é listar todos os elementos distintos de C.

Passo 2

Primeiro vamos listar quais inteiros x satisfazem -10<x<10.
Inteiros estritamente entre -10 e 10 são
x\in\{-9,-8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}.
Expliquei: comecei em -9 porque -10 não está permitido (é estrito) e terminei em 9 porque 10 também não está permitido.

Passo 3

Agora vamos entender a operação x^{2}. Definição e propriedade útil:
  • Por definição, x^{2}=x\cdot x.
  • Propriedade importante: para qualquer inteiro k, temos (-k)^{2}=(-k)\cdot(-k)=k\cdot k=k^{2}. Ou seja, números simétricos em torno de zero têm o mesmo quadrado. Isso significa que ao calcular quadrados teremos repetições (por exemplo, (-3)^{2}=3^{2}), então o conjunto C deve conter apenas os valores distintos.

Passo 4

Vamos calcular x^{2} para os valores não-negativos (é suficiente por causa da propriedade anterior), isto é, para x=0,1,2,\dots,9. Faço as multiplicações uma a uma e explico mentalmente como obter cada resultado:
0^{2}=0\cdot 0=0.
1^{2}=1\cdot 1=1.
2^{2}=2\cdot 2=4.
3^{2}=3\cdot 3=9.
4^{2}=4\cdot 4=16.
5^{2}=5\cdot 5=25.
6^{2}=6\cdot 6=36.
7^{2}=7\cdot 7=49.
8^{2}=8\cdot 8=64.
9^{2}=9\cdot 9=81.
Dica rápida para decorar: quadrados pequenos são frequentemente memorizados (por exemplo, 7^{2}=49, 8^{2}=64, 9^{2}=81). Se esquecer, faça a multiplicação k\cdot k.

Passo 5

Pela lista do Passo 4 e pela propriedade (-k)^{2}=k^{2}, os quadrados de todos os inteiros de -9 a 9 produzem apenas os valores calculados para 0 a 9. Portanto os valores distintos que aparecem como x^{2} para -9\le x\le9 são, em ordem crescente:
0,\;1,\;4,\;9,\;16,\;25,\;36,\;49,\;64,\;81.

Resposta

C=\{0,1,4,9,16,25,36,49,64,81\}

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