Represente os conjuntos abaixo por extensão, listando todos os seus elementos:
Passo 1
O enunciado pede para representar por extensão (ou seja, listar todos os elementos) do conjunto
Informações dadas:
- A expressão
significa o conjunto dos inteiros. - A condição
é estrita (os extremos e não estão incluídos). - O gerador do conjunto é
, ou seja, para cada inteiro que satisfaça a condição, incluímos o número em .
A tarefa é listar todos os elementos distintos de.
Passo 2
Primeiro vamos listar quais inteiros
satisfazem
.
Inteiros estritamente entre e
são
Inteiros estritamente entre
Expliquei: comecei em
porque
não está permitido (é estrito) e terminei em
porque
também não está permitido.
Passo 3
Agora vamos entender a operação
. Definição e propriedade útil:
- Por definição,
. - Propriedade importante: para qualquer inteiro
, temos . Ou seja, números simétricos em torno de zero têm o mesmo quadrado. Isso significa que ao calcular quadrados teremos repetições (por exemplo, ), então o conjunto deve conter apenas os valores distintos.
Passo 4
Vamos calcular
para os valores não-negativos (é suficiente por causa da propriedade anterior), isto é, para
. Faço as multiplicações uma a uma e explico mentalmente como obter cada resultado:
Dica rápida para decorar: quadrados pequenos são frequentemente memorizados (por exemplo,
,
,
). Se esquecer, faça a multiplicação
.
Passo 5
Pela lista do Passo 4 e pela propriedade
, os quadrados de todos os inteiros de
a
produzem apenas os valores calculados para
a
. Portanto os valores distintos que aparecem como
para
são, em ordem crescente: