Represente a épura da reta r, definida pelos pontos A(-4,5,-5) e B(6,0,5) e julgue se os seguintes pontos pertencem ou não a ela:
E(8,1,7)
Passo 1
O enunciado dá a reta r que passa pelos pontos
A(-4,5,-5)\quad\text{e}\quad B(6,0,5)
e pede a sua épura, isto é, as projeções ortogonais de r sobre o plano horizontal z=0 e sobre o plano frontal y=0. Em seguida, devemos verificar se o ponto E(8,1,7) pertence a r. Vamos usar forma paramétrica da reta e, a partir dela, extrair as projeções e testar o ponto.
Passo 2
Calculamos o vetor diretor de r\) como
\[\overrightarrow{AB} = B - A = (6 - (-4),\;0-5,\;5-(-5)) = (10,\,-5,\,10).
Logo a forma paramétrica geral é
r:\quad \begin{cases} x = -4 + 10t,\\\ y = 5 - 5t,\\\ z = -5 + 10t, \end{cases} \quad t\in\mathbb{R}.
Para simplificar, seja (s= t], podemos também escrever r:\quad \begin{cases} x = -4 + 2s,\\\ y = 5 - s,\\\ z = -5 + 2s, \end{cases} \quad s\in\mathbb{R},
pois basta dividir o parâmetro por 5.
Passo 3
Projete r\) sobre o plano horizontal \(z=0\). Na projeção anula-se \(z\), ficando a épura horizontal
\[r':\quad \begin{cases} x = -4 + 2s,\\\ y = 5 - s. \end{cases}
Projete r\] sobre o plano frontal \[y=0. Na projeção anula-se y, ficando a épura frontal
r'':\quad \begin{cases} x = -4 + 2s,\\\ z = -5 + 2s. \end{cases}
Em um desenho de épura, traçaríamos r'\] no sistema de eixos \(xy (planta) e r'' no sistema de eixos xz (elevação), alinhando o eixo x.
Passo 4
Para saber se E(8,1,7)\) pertence a \(r\), buscamos um parâmetro \(s\) que satisfaça simultaneamente
\[\begin{cases} 8 = -4 + 2s,\\\\ 1 = 5 - s,\\\\ 7 = -5 + 2s. \end{cases}
Da primeira equação vem
8 = -4 + 2s \implies 2s = 12 \implies s = 6.
Da segunda equação,
1 = 5 - s \implies s = 4.
Como 6 \neq 4\], não há valor único de \(s que satisfaça ambas as coordenadas x e y. Não é preciso verificar a terceira: já existe contradição. Portanto E não está em r.