Represente a épura da reta r, definida pelos pontos A(-4,5,-5) e B(6,0,5) e julgue se os seguintes pontos pertencem ou não a ela:
\mathrm{D}(-2,4,1)

Passo 1

O enunciado pede representar a épura da reta r que passa pelos pontos A(-4,5,-5) e B(6,0,5) e julgar se o ponto D(-2,4,1) pertence a essa reta. Vamos usar vetores para obter a forma paramétrica e simétrica de r e depois verificar o pertencimento de D resolvendo as equações paramétricas.

Passo 2

Calculamos o vetor diretor de r subtraindo as coordenadas de A das de B:
\overrightarrow{AB} = (6 - (-4),\,0 - 5,\,5 - (-5)) = (10,\,-5,\,10).
Podemos simplificar esse vetor dividindo por 5, obtendo \vec v = (2,\,-1,\,2).

Passo 3

Escolhendo [A) como ponto base e \vec v como vetor diretor, escrevemos as equações paramétricas de r:
\begin{cases} x = -4 + 2t,\\\ y = 5 - t,\\\ z = -5 + 2t \end{cases}
para (t\in\mathbb{R}].
Em seguida, a forma simétrica é
\frac{x + 4}{2} \;=\;\frac{y - 5}{-1}\;=\;\frac{z + 5}{2}.

Passo 4

Para verificar se D(-2,4,1) está em r, igualamos as suas coordenadas às paramétricas: \,-2 = -4 + 2t t = 1, \;4 = 5 - t t = 1, \;1 = -5 + 2t t = 3.
Como não existe um único valor de t que satisfaça simultaneamente as três equações, concluímos que D não pertence à reta r.

Resposta

Épura de [r):
\begin{cases} x = -4 + 2t,\\\ y = 5 - t,\\\ z = -5 + 2t \end{cases}
para (t\in\mathbb{R}] Forma simétrica:
\frac{x + 4}{2} = \frac{y - 5}{-1} = \frac{z + 5}{2}
O ponto D não pertence a r.

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