Represente a épura da reta r, definida pelos pontos A(-4,5,-5) e B(6,0,5) e julgue se os seguintes pontos pertencem ou não a ela:
F(2,2,1)

Passo 1

O enunciado pede a representação paramétrica (épura) da reta r que passa por A(-4,5,-5) e B(6,0,5), e em seguida verificar se o ponto F(2,2,1) pertence a essa reta. O conteúdo aqui é geometria analítica no espaço: vamos precisar calcular o vetor direção de r, montar as equações paramétricas e depois checar se há um mesmo parâmetro t que gera F.

Passo 2

Calculemos o vetor direção \vec{d}=\overrightarrow{AB}.
\vec{d}=B-A=(6-(-4),\,0-5,\,5-(-5))=(10,\,-5,\,10).
Podemos simplificar esse vetor dividindo por 5:
\vec{d}=(2,\,-1,\,2).

Passo 3

Escolhemos A como ponto de apoio e \vec{d} como direção. A forma vetorial da reta é
(x,y,z)=(-4,5,-5)+t\,(2,-1,2),\quad t\in\mathbb{R}.
Em coordenadas paramétricas isso dá
\begin{cases} x=-4+2t,\\\ y=5 - t,\\\ z=-5+2t. \end{cases}

Passo 4

Para ver se F(2,2,1) está em r, igualamos cada coordenada às expressões paramétricas e buscamos um mesmo t:
Da primeira coordenada:
2=-4+2t\implies t=3.
Da segunda coordenada:
2=5 - t\implies t=3.
Da terceira coordenada:
1=-5+2t\implies 2t=6\implies t=3.
Como as três equações dão t=3, o ponto F é gerado pela reta quando t=3. Logo, F pertence a r.

Resposta

A épura de r\) é \[(x,y,z)=(-4,5,-5)+t\,(2,-1,2),\;t\in\mathbb{R},
ou equivalentemente
\begin{cases} x=-4+2t,\\\ y=5 - t,\\\ z=-5+2t, \end{cases}
e o ponto F(2,2,1)\] pertence à reta \(r.

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