Represente a forma de onda, espectro de amplitude e potência do sinal, todos com eixo x relativo ao
, da função
.
Passo 1
O enunciado pede que eu represente:
- a forma de onda do sinal;
- o espectro de amplitude do sinal;
- o espectro de potência do sinal;
todos com o eixo horizontal (eixo x) referido à frequência angular.
O sinal dado é
Informações fornecidas explicitamente:
- amplitude
; - argumento do cosseno
(daqui virá a frequência angular característica).
O que preciso entregar: expressões (e indicação de como seriam os gráficos) da forma de onda e dos dois espectros, com os picos localizados em termos de.
Passo 2
Vou extrair as quantidades fundamentais (frequência angular
, frequência linear
e período
), porque elas aparecem em todas as representações.
Defino a frequência angular fundamental
como o coeficiente multiplicando
no argumento do cosseno:
Posso simplificar a frequência linear
usando
. Assim
O período é
Passo 3
Forma de onda no domínio do tempo (explicando o que significa cada termo).
A forma de onda dada é
A forma de onda dada é
onde
foi encontrado no passo anterior. Isso significa:
- amplitude máxima
e mínima ; - oscilações periódicas com período
(ou frequência ); - um traçado típico: uma curva cosseno de amplitude 5 que completa uma oscilação a cada
.
Observação prática para desenhar numa prova sem calculadora: marque no eixo
intervalos de
para localizar máximos, zeros e mínimos do cosseno.
Passo 4
Introdução ao conceito de espectro de amplitude (CTFT de uma cosseno) — aula rápida e sem pular etapas.
- A transformada de Fourier em frequência angular (
) de é constituída por impulsos (delta de Dirac) nas frequências . - Uma identidade padrão (que pode ser dada/lembrada numa prova) é:
Isto vem de escrever
e usar a transformada de
que é
, levando ao resultado acima (fazendo as contas dos fatores
e
).
Passo 5
Aplicando essa identidade ao nosso sinal com amplitude
.
Se , então a transformada
é
Se
Explicação do que isso significa para o espectro de amplitude:
- o espectro é constituído por dois impulsos (linhas) localizados em
e ; - cada impulso tem “área” (ou peso) igual a
. Em gráficos de espectro de amplitude se costuma desenhar uma linha vertical em com altura proporcional a — lembrando que, tecnicamente, é um impulso delta, não um pico finito.
Passo 6
Interpretação prática do “espectro de amplitude” para desenho versus
.
- No eixo
desenhar dois picos no ponto com amplitude (área) . - Lembrete numérico:
. Se precisar de valor numérico aproximado, (mas normalmente usa-se a forma simbólica ).
Passo 7
Cálculo da potência média do sinal (aula passo a passo sobre potência de uma senoide).
Para um sinal senoidal a potência média (valor médio do quadrado) é
Para um sinal senoidal
Aqui
, logo
Explicação: a média de
ao longo de um período é
, por isso o resultado.
Passo 8
Espectro de potência (densidade espectral de potência) — como representar em
.
Para um sinal periódico com séries de Fourier, a potência aparece como linhas no domínio da frequência. Usando coerência com as fórmulas de séries de Fourier:
Para um sinal periódico com séries de Fourier, a potência aparece como linhas no domínio da frequência. Usando coerência com as fórmulas de séries de Fourier:
- os coeficientes de série para
são ; - a densidade espectral de potência
pode ser escrita como
No nosso caso existem só os termos
com
. Portanto
Verificação rápida: a potência total obtida integrando a densidade satisfaz
que coincide com o
calculado no passo anterior.
Passo 9
Resumo prático do que desenhar e anotar nos gráficos (dicas para a prova):
- Forma de onda: desenhar
no domínio do tempo, indicando amplitude , período . - Espectro de amplitude versus
: dois impulsos em com área . - Espectro de potência versus
: dois impulsos em com área . - Sempre identificar numericamente
(ou escrever ).
Resposta
Forma de onda:
com
(ou
).
Espectro de amplitude: com
.
Espectro de potência: com
.
Espectro de amplitude:
Espectro de potência: