Represente a forma de onda, espectro de amplitude e potência do sinal, todos com eixo x relativo ao \omega, da função f(t)=5 \cos \left(200 \pi \cdot 10^{3} t\right).

Passo 1

O enunciado pede que eu represente:
  • a forma de onda do sinal;
  • o espectro de amplitude do sinal;
  • o espectro de potência do sinal;
    todos com o eixo horizontal (eixo x) referido à frequência angular \omega.
O sinal dado é
f(t)=5\cos\left(200\pi\cdot10^{3}\,t\right).
Informações fornecidas explicitamente:
  • amplitude A=5;
  • argumento do cosseno \;200\pi\cdot10^{3}\,t\; (daqui virá a frequência angular característica).
    O que preciso entregar: expressões (e indicação de como seriam os gráficos) da forma de onda e dos dois espectros, com os picos localizados em termos de \omega.

Passo 2

Vou extrair as quantidades fundamentais (frequência angular \omega_0, frequência linear f e período T), porque elas aparecem em todas as representações.
Defino a frequência angular fundamental \omega_0 como o coeficiente multiplicando t no argumento do cosseno:
\omega_0 = 200\pi\cdot10^{3}\\ \text{rad/s}.
Posso simplificar a frequência linear f usando \omega_0=2\pi f. Assim
f=\frac{\omega_0}{2\pi}=\frac{200\pi\cdot10^{3}}{2\pi}=100\cdot10^{3}=100\\ \text{kHz}.
O período é
T=\frac{1}{f}=\frac{1}{100\cdot10^{3}}=10\cdot10^{-6}\\ \text{s}=10\\ \mu\text{s}.

Passo 3

Forma de onda no domínio do tempo (explicando o que significa cada termo).
A forma de onda dada é
f(t)=5\cos(\omega_0 t),
onde \omega_0 foi encontrado no passo anterior. Isso significa:
  • amplitude máxima +5 e mínima -5;
  • oscilações periódicas com período T=10\\ \mu\text{s} (ou frequência 100\\ \text{kHz});
  • um traçado típico: uma curva cosseno de amplitude 5 que completa uma oscilação a cada 10\\ \mu\text{s}.
Observação prática para desenhar numa prova sem calculadora: marque no eixo t intervalos de T/4=2,5\\ \mu\text{s} para localizar máximos, zeros e mínimos do cosseno.

Passo 4

Introdução ao conceito de espectro de amplitude (CTFT de uma cosseno) — aula rápida e sem pular etapas.
  • A transformada de Fourier em frequência angular ( \omega) de \cos(\omega_0 t) é constituída por impulsos (delta de Dirac) nas frequências \pm\omega_0.
  • Uma identidade padrão (que pode ser dada/lembrada numa prova) é:
\cos(\omega_0 t)\\ \xleftrightarrow{\\ \mathcal{F}\\ }\\ \pi\bigl[\delta(\omega-\omega_0)+\delta(\omega+\omega_0)\bigr].
Isto vem de escrever \cos(\omega_0 t)=\tfrac{1}{2}(e^{j\omega_0 t}+e^{-j\omega_0 t}) e usar a transformada de e^{j\omega_0 t} que é 2\pi\delta(\omega-\omega_0), levando ao resultado acima (fazendo as contas dos fatores \tfrac{1}{2} e 2\pi).

Passo 5

Aplicando essa identidade ao nosso sinal com amplitude A=5.
Se f(t)=5\cos(\omega_0 t), então a transformada F(\omega) é
F(\omega)=5\pi\bigl[\delta(\omega-\omega_0)+\delta(\omega+\omega_0)\bigr].
Explicação do que isso significa para o espectro de amplitude:
  • o espectro é constituído por dois impulsos (linhas) localizados em \omega=+\omega_0 e \omega=-\omega_0;
  • cada impulso tem “área” (ou peso) igual a 5\pi. Em gráficos de espectro de amplitude se costuma desenhar uma linha vertical em \pm\omega_0 com altura proporcional a 5\pi — lembrando que, tecnicamente, é um impulso delta, não um pico finito.

Passo 6

Interpretação prática do “espectro de amplitude” para desenho versus \omega.
  • No eixo \omega desenhar dois picos no ponto \omega=\pm\omega_0 com amplitude (área) 5\pi.
  • Lembrete numérico: \omega_0=200\pi\cdot10^{3}\\ \text{rad/s}. Se precisar de valor numérico aproximado, \omega_0\approx 628{,}318{,}5\times 10^{3}\\ \text{rad/s} (mas normalmente usa-se a forma simbólica \omega_0=200\pi\cdot10^{3}\\ \text{rad/s}).

Passo 7

Cálculo da potência média do sinal (aula passo a passo sobre potência de uma senoide).
Para um sinal senoidal A\cos(\cdot) a potência média (valor médio do quadrado) é
P=\frac{A^{2}}{2}.
Aqui A=5, logo
P=\frac{5^{2}}{2}=\frac{25}{2}=12{,}5.
Explicação: a média de \cos^{2} ao longo de um período é 1/2, por isso o resultado.

Passo 8

Espectro de potência (densidade espectral de potência) — como representar em \omega.
Para um sinal periódico com séries de Fourier, a potência aparece como linhas no domínio da frequência. Usando coerência com as fórmulas de séries de Fourier:
  • os coeficientes de série para 5\cos(\omega_0 t) são a_{+1}=a_{-1}=A/2=2{,}5;
  • a densidade espectral de potência S_x(\omega) pode ser escrita como
S_x(\omega)=2\pi\sum_{k}|a_k|^{2}\delta(\omega-k\omega_0).
No nosso caso existem só os termos k=\pm1 com |a_{\pm1}|^{2}=(2{,}5)^{2}=6{,}25. Portanto
S_x(\omega)=2\pi\cdot 6{,}25\;\bigl[\delta(\omega-\omega_0)+\delta(\omega+\omega_0)\bigr]=12{,}5\pi\;\bigl[\delta(\omega-\omega_0)+\delta(\omega+\omega_0)\bigr].
Verificação rápida: a potência total obtida integrando a densidade satisfaz
P=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}S_x(\omega)\,d\omega=\frac{1}{2\pi}\cdot 12{,}5\pi\cdot 2=12{,}5,
que coincide com o P calculado no passo anterior.

Passo 9

Resumo prático do que desenhar e anotar nos gráficos (dicas para a prova):
  • Forma de onda: desenhar f(t)=5\cos(\omega_0 t) no domínio do tempo, indicando amplitude 5, período T=10\\ \mu\text{s}.
  • Espectro de amplitude versus \omega: dois impulsos em \omega=\pm\omega_0 com área 5\pi.
  • Espectro de potência versus \omega: dois impulsos em \omega=\pm\omega_0 com área 12{,}5\pi.
  • Sempre identificar numericamente \omega_0=200\pi\cdot10^{3}\\ \text{rad/s} (ou escrever \omega_0=2\pi\cdot100\cdot10^{3}\\ \text{rad/s}).

Resposta

Forma de onda: f(t)=5\cos(\omega_0 t) com \omega_0=200\pi\cdot10^{3}\\ \text{rad/s} (ou f=100\\ \text{kHz},\\ T=10\\ \mu\text{s}).
Espectro de amplitude: F(\omega)=5\pi\bigl[\delta(\omega-\omega_0)+\delta(\omega+\omega_0)\bigr] com \omega_0=200\pi\cdot10^{3}\\ \text{rad/s}.
Espectro de potência: S_x(\omega)=12{,}5\pi\bigl[\delta(\omega-\omega_0)+\delta(\omega+\omega_0)\bigr] com \omega_0=200\pi\cdot10^{3}\\ \text{rad/s}.

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