Represente a forma de onda, espectro de amplitude, fase e potência do sinal f(t)=-10 \cos (6823 t).

Passo 1

O enunciado pede quatro coisas para o sinal dado:
  • Representar a forma de onda no tempo.
  • Mostrar o espectro de amplitude.
  • Mostrar o espectro de fase.
  • Calcular a potência média do sinal.
Informações fornecidas (extraídas do enunciado):
  • O sinal é f(t) = -10 \cos(6823\, t).
  • Aqui 6823 está em rad/s (ou seja, é uma frequência angular \Omega_0=6823\\ \text{rad/s}).
    As próximas etapas vão transformar essa informação em todas as representações pedidas, explicando cada passo com calma.

Passo 2

Entender a forma do sinal e reescrevê‑lo de maneiras úteis.
A amplitude (valor absoluto) é 10. A função trigonométrica tem um sinal negativo, que pode ser visto como um deslocamento de fase de \pi. Duas representações úteis:
f(t) = -10\cos(6823\,t)
e, usando a identidade \cos(x+\pi)=-\cos x,
f(t) = 10\cos(6823\,t+\pi).
Também podemos escrever em termos de exponenciais complexas (identidade \cos x = \tfrac{1}{2}(e^{jx}+e^{-jx})):
f(t) = -10\cdot\frac{e^{j6823 t}+e^{-j6823 t}}{2} = -5\,e^{j6823 t} -5\,e^{-j6823 t}.
Cada forma tem utilidade: a primeira é a forma “natural”, a segunda mostra o deslocamento de fase, a terceira é útil para obter o espectro usando transformadas.

Passo 3

Calcular a frequência em Hz e o período (valores numéricos que ajudam a interpretar a forma de onda).
A relação entre frequência angular \Omega_0 e frequência em Hz f_0 é
f_0=\frac{\Omega_0}{2\pi}.
Substituindo \Omega_0=6823,
f_0=\frac{6823}{2\pi}\approx 1085{,}9145\\ \text{Hz}.
O período é T=\dfrac{1}{f_0} (ou T=\dfrac{2\pi}{\Omega_0}):
T=\frac{2\pi}{6823}\approx 0{,}0009209\\ \text{s}\approx 0{,}9209\\ \text{ms}.
Interpretação rápida: é uma senoide de amplitude 10, com cerca de 1086\\ \text{Hz} e período \approx0{,}921\\ \text{ms}; o sinal mostrado no tempo é uma cossenoide invertida (pico inicial em -10).

Passo 4

Encontrar o espectro no domínio da frequência angular \Omega (transformada de Fourier contínua).
Regra útil (que vou usar e explicar): para um sinal A\cos(\Omega_0 t+\varphi) a transformada de Fourier no domínio angular, usando a convenção X(\Omega)=\int_{-\infty}^{\infty} x(t)e^{-j\Omega t}\,dt, é
X(\Omega)=A\pi\left(e^{j\varphi}\delta(\Omega-\Omega_0)+e^{-j\varphi}\delta(\Omega+\Omega_0)\right).
Por que isso? Porque \cos(\Omega_0 t+\varphi)=\tfrac{A}{2}e^{j\varphi}e^{j\Omega_0 t}+\tfrac{A}{2}e^{-j\varphi}e^{-j\Omega_0 t}, e a transformada de e^{j\Omega_0 t} é 2\pi\delta(\Omega-\Omega_0), multiplicando dá A\pi e^{j\varphi}\delta(\Omega-\Omega_0), e análogo para a outra componente.
No nosso caso A=10, \Omega_0=6823 e \varphi=\pi (porque -10\cos(\Omega_0 t)=10\cos(\Omega_0 t+\pi)). Como e^{j\pi}=-1 e e^{-j\pi}=-1, obtemos:
X(\Omega)=10\pi\bigl(-\delta(\Omega-6823)-\delta(\Omega+6823)\bigr) = -10\pi\bigl(\delta(\Omega-6823)+\delta(\Omega+6823)\bigr).
Então o espectro é composto por duas componentes impulsivas (linhas) em \Omega=\pm6823\\ \text{rad/s} com coeficiente (peso) -10\pi.

Passo 5

Espectro de amplitude e de fase no domínio \Omega.
  • Espectro de amplitude (magnitude do coeficiente de cada impulso): os pesos são -10\pi em cada impulso, logo a magnitude é
|X(\Omega)| = 10\pi\bigl(\delta(\Omega-6823)+\delta(\Omega+6823)\bigr).
Isto significa que há duas linhas de magnitude 10\pi localizadas em \Omega=\pm6823.
  • Espectro de fase: o argumento (fase) do coeficiente -10\pi é \arg(-10\pi)=\pi (ou -\pi, são equivalentes modularmente). Portanto a fase nas duas linhas é
\angle X(\Omega)=\pi\quad\text{em }\Omega=\pm 6823,
e a fase é indefinida onde não há impulsos (fora desses pontos).
Observação: às vezes prefere‑se representar o espectro usando a frequência em Hz ( f) em vez de \Omega. Vou dar também essa forma porque é mais intuitiva.

Passo 6

Espectro usando a variável frequência f (Hz): fórmulas e interpretação.
Se usarmos a transformada com a variável f (onde e^{j2\pi f t} é a exponencial), a transformada de A\cos(2\pi f_0 t+\varphi) é
X(f)=\frac{A}{2}\left(e^{j\varphi}\delta(f-f_0)+e^{-j\varphi}\delta(f+f_0)\right).
No nosso caso escrevemos a cossenoide como 10\cos(2\pi f_0 t+\pi) com f_0=\dfrac{6823}{2\pi}. Substituindo A=10 e \varphi=\pi obtemos
X(f) = \frac{10}{2}\bigl(e^{j\pi}\delta(f-f_0)+e^{-j\pi}\delta(f+f_0)\bigr) = -5\bigl(\delta(f-f_0)+\delta(f+f_0)\bigr).
Assim, em Hz:
  • Linhas em f=\pm f_0 com peso -5.
  • Espectro de amplitude (valores absolutos) tem picos de magnitude 5 em f=\pm f_0.
  • Espectro de fase: fase \pi (ou -\pi) em f=\pm f_0.
Número numérico já calculado:
f_0\approx 1085{,}9145\\ \text{Hz}.

Passo 7

Calcular a potência média do sinal (passo a passo didático).
Definição (para sinais periódicos): potência média é
P=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{T}\int_{0}^{T}|f(t)|^2\,dt.
Para uma cossenoide A\cos(\cdot) vale a identidade bem conhecida (derivável integrando em um período)
P=\frac{A^2}{2},
porque a média de \cos^2 ao longo de um período é 1/2.
No nosso caso A=10, logo
P=\frac{10^2}{2}=\frac{100}{2}=50.
Observação: o sinal negativo não altera a potência (pois (-10\cos)^2 = (10\cos)^2).

Passo 8

Resumo final de todas as representações (organizado e pronto para consulta rápida).
  • Forma de onda no tempo: f(t) = -10\cos(6823\,t) = 10\cos(6823\,t+\pi).
  • Frequência em Hz e período: f_0=\dfrac{6823}{2\pi}\approx 1085{,}9145\\ \text{Hz}, T=\dfrac{2\pi}{6823}\approx 0{,}0009209\\ \text{s}.
  • Espectro (domínio angular \Omega): X(\Omega) = -10\pi\bigl(\delta(\Omega-6823)+\delta(\Omega+6823)\bigr).Amplitude (magnitude): picos de 10\pi em \Omega=\pm6823. Fase: \pi em \Omega=\pm6823.
  • Espectro (domínio em Hz f): X(f) = -5\bigl(\delta(f-f_0)+\delta(f+f_0)\bigr),\qquad f_0\approx1085{,}9145\\ \text{Hz}.Amplitude: picos de 5 em f=\pm f_0. Fase: \pi em f=\pm f_0.
  • Potência média: P=50.

Resposta

Forma de onda: f(t) = -10\cos(6823\,t) = 10\cos(6823\,t+\pi)\n
Espectro (angular \Omega): X(\Omega) = -10\pi\bigl(\delta(\Omega-6823)+\delta(\Omega+6823)\bigr)\n
Espectro (em Hz): X(f) = -5\bigl(\delta(f-f_0)+\delta(f+f_0)\bigr) com f_0=\dfrac{6823}{2\pi}\approx 1085{,}9145\\ \text{Hz}\n
Espectro de amplitude: picos de magnitude 10\pi em \Omega=\pm6823 (equivalente a picos de magnitude 5 em f=\pm f_0)\n
Espectro de fase: fase \pi (ou -\pi) nas linhas \Omega=\pm6823 (ou f=\pm f_0)\n
Potência média: P=50

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