Represente a forma de onda, espectro de amplitude, fase e potência do sinal
.
Passo 1
O enunciado pede quatro coisas para o sinal dado:
- Representar a forma de onda no tempo.
- Mostrar o espectro de amplitude.
- Mostrar o espectro de fase.
- Calcular a potência média do sinal.
Informações fornecidas (extraídas do enunciado):
- O sinal é
. - Aqui
está em rad/s (ou seja, é uma frequência angular ).
As próximas etapas vão transformar essa informação em todas as representações pedidas, explicando cada passo com calma.
Passo 2
Entender a forma do sinal e reescrevê‑lo de maneiras úteis.
A amplitude (valor absoluto) é
. A função trigonométrica tem um sinal negativo, que pode ser visto como um deslocamento de fase de
. Duas representações úteis:
e, usando a identidade
,
Também podemos escrever em termos de exponenciais complexas (identidade
):
Cada forma tem utilidade: a primeira é a forma “natural”, a segunda mostra o deslocamento de fase, a terceira é útil para obter o espectro usando transformadas.
Passo 3
Calcular a frequência em Hz e o período (valores numéricos que ajudam a interpretar a forma de onda).
A relação entre frequência angular
e frequência em Hz
é
Substituindo
,
O período é
(ou
):
Interpretação rápida: é uma senoide de amplitude
, com cerca de
e período
; o sinal mostrado no tempo é uma cossenoide invertida (pico inicial em
).
Passo 4
Encontrar o espectro no domínio da frequência angular
(transformada de Fourier contínua).
Regra útil (que vou usar e explicar): para um sinal
a transformada de Fourier no domínio angular, usando a convenção
, é
Por que isso? Porque
, e a transformada de
é
, multiplicando dá
, e análogo para a outra componente.
No nosso caso
,
e
(porque
). Como
e
, obtemos:
Então o espectro é composto por duas componentes impulsivas (linhas) em
com coeficiente (peso)
.
Passo 5
Espectro de amplitude e de fase no domínio
.
- Espectro de amplitude (magnitude do coeficiente de cada impulso): os pesos são
em cada impulso, logo a magnitude é
Isto significa que há duas linhas de magnitude
localizadas em
.
- Espectro de fase: o argumento (fase) do coeficiente
é (ou , são equivalentes modularmente). Portanto a fase nas duas linhas é
e a fase é indefinida onde não há impulsos (fora desses pontos).
Observação: às vezes prefere‑se representar o espectro usando a frequência em Hz (
) em vez de
. Vou dar também essa forma porque é mais intuitiva.
Passo 6
Espectro usando a variável frequência
(Hz): fórmulas e interpretação.
Se usarmos a transformada com a variável
(onde
é a exponencial), a transformada de
é
No nosso caso escrevemos a cossenoide como
com
. Substituindo
e
obtemos
Assim, em Hz:
- Linhas em
com peso . - Espectro de amplitude (valores absolutos) tem picos de magnitude
em . - Espectro de fase: fase
(ou ) em .
Número numérico já calculado:
Passo 7
Calcular a potência média do sinal (passo a passo didático).
Definição (para sinais periódicos): potência média é
Para uma cossenoide
vale a identidade bem conhecida (derivável integrando em um período)
porque a média de
ao longo de um período é
.
No nosso caso
, logo
Observação: o sinal negativo não altera a potência (pois
).
Passo 8
Resumo final de todas as representações (organizado e pronto para consulta rápida).
- Forma de onda no tempo:
. - Frequência em Hz e período:
, . - Espectro (domínio angular
): Amplitude (magnitude): picos de em . Fase: em . - Espectro (domínio em Hz
): Amplitude: picos de em . Fase: em . - Potência média:
.
Resposta
Forma de onda:
\n
Espectro (angular ):
\n
Espectro (em Hz): com
\n
Espectro de amplitude: picos de magnitude em
(equivalente a picos de magnitude
em
)\n
Espectro de fase: fase (ou
) nas linhas
(ou
)\n
Potência média:
Espectro (angular
Espectro (em Hz):
Espectro de amplitude: picos de magnitude
Espectro de fase: fase
Potência média: