Determine o espectro de amplitude, potência e a fase para o sinal cuja expressão é
.
Passo 1
O enunciado dá o sinal
e pede três coisas claras:
- o espectro de amplitude (ou seja, a magnitude do espectro no domínio da frequência),
- o espectro de potência (densidade espectral de potência, apropriada para um sinal periódico),
- a fase (o argumento complexo associado às linhas espectrais).
Informações relevantes fornecidas:
- A expressão do sinal é
. - A frequência angular do seno é
(rad/s). - A frequência em hertz é
.
A partir daqui vamos decompor o seno em exponenciais complexas, usar a transformada de Fourier (convenção padrão abaixo) e também a série de Fourier para obter a densidade espectral de potência.
Passo 2
Definindo convenções e propriedades que usarei (explicando como se fosse na prova).
- Convenção da transformada de Fourier contínua (CTFT) usada aqui:
- Propriedade importante: a transformada de
é
ou seja,
.
- A função seno pode ser escrita em termos de exponenciais complexas (identidade básica, muito usada):
Essa identidade é crucial porque transforma o problema em somar duas exponenciais, cujo espectro conhecemos (são deltas).
Passo 3
Aplicando a decomposição ao nosso sinal:
Agora uso a propriedade da transformada de cada termo exponencial. Pela linearidade da FT,
Colocando fator comum:
Observação sobre o fator
:
. Então outra forma útil é
Passo 4
Espectro de amplitude (magnitude do espectro). O espectro
é composto por impulsos (deltas) nas frequências
com coeficientes complexos. Os coeficientes são:
- em
: coeficiente , cuja magnitude é ; - em
: coeficiente , cuja magnitude é .
Portanto a magnitude do espectro (espectro de amplitude) é formada por duas impulsões de magnitude
em
. Em notação:
Se preferir a versão em frequência linear
(Hz), usando
e
com
, os picos aparecem em
(mantendo a relação de escala dos deltas).
Passo 5
Fase do espectro. A fase é o argumento complexo dos coeficientes que multiplicam cada delta:
- em
o coeficiente é . Logo a fase em é . - em
o coeficiente é . Logo a fase em é .
Em palavras: o pico positivo em
tem fase
e o pico em
tem fase
.
Passo 6
Espectro de potência (densidade espectral de potência) — explicado passo a passo.
- Como
é periódico, o conceito apropriado é a densidade espectral de potência (PSD), que para um sinal periódico representado por séries de Fourier com coeficientes resulta em impulsos na PSD com pesos posicionados nas frequências harmônicas. - Para
só existem dois harmônicos não nulos: e . A série de Fourier (coeficientes) pode ser lida diretamente da decomposição:
logo os coeficientes (da forma
) são
e
.
- Seus módulos ao quadrado são
. - A densidade espectral de potência é então
Simplificando o fator:
- Como checagem rápida, a potência média do sinal (área total de
ou soma de ) é , que é a potência média conhecida de unitário — tudo consistente.
Passo 7
Resumo numérico com os valores de frequência explícitos para o caso dado:
-
. -
.
Resposta
Amplitude: [\displaystyle |F(\omega)|=\pi\Bigl(\delta(\omega-10{3}\pi)+\delta(\omega+10{3}\pi)\Bigr))
Potência (densidade espectral de potência):
Fase: (\displaystyle \arg F(\omega)=
]]