Determine o espectro de amplitude, potência e a fase para o sinal cuja expressão é f(t)=\operatorname{sen}\left(10^{3} \pi t\right).

Passo 1

O enunciado dá o sinal f(t)=\operatorname{sen}\left(10^{3}\pi t\right) e pede três coisas claras:
  • o espectro de amplitude (ou seja, a magnitude do espectro no domínio da frequência),
  • o espectro de potência (densidade espectral de potência, apropriada para um sinal periódico),
  • a fase (o argumento complexo associado às linhas espectrais).
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão do sinal é f(t)=\sin\!\bigl(10^{3}\pi t\bigr).
  • A frequência angular do seno é \omega_0=10^{3}\pi (rad/s).
  • A frequência em hertz é \,f_0=\dfrac{\omega_0}{2\pi}=\dfrac{10^{3}\pi}{2\pi}=500\\ \text{Hz}.
A partir daqui vamos decompor o seno em exponenciais complexas, usar a transformada de Fourier (convenção padrão abaixo) e também a série de Fourier para obter a densidade espectral de potência.

Passo 2

Definindo convenções e propriedades que usarei (explicando como se fosse na prova).
  • Convenção da transformada de Fourier contínua (CTFT) usada aqui:
X(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} x(t)\,e^{-j\omega t}\,dt.
  • Propriedade importante: a transformada de e^{j\omega_1 t} é
\int_{-\infty}^{\infty} e^{j\omega_1 t} e^{-j\omega t}\,dt = 2\pi\,\delta(\omega-\omega_1),
ou seja, \mathcal{F}\{e^{j\omega_1 t}\}=2\pi\,\delta(\omega-\omega_1).
  • A função seno pode ser escrita em termos de exponenciais complexas (identidade básica, muito usada):
\sin(\omega_0 t)=\frac{1}{2j}\Bigl(e^{j\omega_0 t}-e^{-j\omega_0 t}\Bigr).
Essa identidade é crucial porque transforma o problema em somar duas exponenciais, cujo espectro conhecemos (são deltas).

Passo 3

Aplicando a decomposição ao nosso sinal:
f(t)=\sin\!\bigl(10^{3}\pi t\bigr)=\frac{1}{2j}\Bigl(e^{j\omega_0 t}-e^{-j\omega_0 t}\Bigr), \qquad\text{com }\omega_0=10^{3}\pi.
Agora uso a propriedade da transformada de cada termo exponencial. Pela linearidade da FT,
F(\omega)=\mathcal{F}\{f(t)\}=\frac{1}{2j}\Bigl(2\pi\,\delta(\omega-\omega_0)-2\pi\,\delta(\omega+\omega_0)\Bigr).
Colocando fator comum:
F(\omega)=\frac{2\pi}{2j}\Bigl(\delta(\omega-\omega_0)-\delta(\omega+\omega_0)\Bigr) =\frac{\pi}{j}\Bigl(\delta(\omega-\omega_0)-\delta(\omega+\omega_0)\Bigr).
Observação sobre o fator 1/j: 1/j=-j. Então outra forma útil é
F(\omega)=-j\pi\Bigl(\delta(\omega-\omega_0)-\delta(\omega+\omega_0)\Bigr).

Passo 4

Espectro de amplitude (magnitude do espectro). O espectro F(\omega) é composto por impulsos (deltas) nas frequências \omega=\pm\omega_0 com coeficientes complexos. Os coeficientes são:
  • em \omega=\omega_0: coeficiente C_{+}=\dfrac{\pi}{j}=-j\pi, cuja magnitude é |C_{+}|=\pi;
  • em \omega=-\omega_0: coeficiente C_{-}=-\dfrac{\pi}{j}=j\pi, cuja magnitude é |C_{-}|=\pi.
Portanto a magnitude do espectro (espectro de amplitude) é formada por duas impulsões de magnitude \pi em \omega=\pm\omega_0. Em notação:
|F(\omega)|=\pi\Bigl(\delta(\omega-\omega_0)+\delta(\omega+\omega_0)\Bigr).
Se preferir a versão em frequência linear f (Hz), usando \omega=2\pi f e \omega_0=2\pi f_0 com f_0=500\\ \text{Hz}, os picos aparecem em f=\pm 500\\ \text{Hz} (mantendo a relação de escala dos deltas).

Passo 5

Fase do espectro. A fase é o argumento complexo dos coeficientes que multiplicam cada delta:
  • em \omega=\omega_0 o coeficiente é C_{+}=\dfrac{\pi}{j}=\pi e^{-j\pi/2}. Logo a fase em \omega=\omega_0 é \arg C_{+}=-\dfrac{\pi}{2}.
  • em \omega=-\omega_0 o coeficiente é C_{-}=-\dfrac{\pi}{j}=\pi e^{j\pi/2}. Logo a fase em \omega=-\omega_0 é \arg C_{-}=+\dfrac{\pi}{2}.
Em palavras: o pico positivo em +\omega_0 tem fase -\pi/2 e o pico em -\omega_0 tem fase +\pi/2.

Passo 6

Espectro de potência (densidade espectral de potência) — explicado passo a passo.
  • Como f(t) é periódico, o conceito apropriado é a densidade espectral de potência (PSD), que para um sinal periódico representado por séries de Fourier com coeficientes c_k resulta em impulsos na PSD com pesos 2\pi |c_k|^2 posicionados nas frequências harmônicas.
  • Para \sin(\omega_0 t) só existem dois harmônicos não nulos: k=+1 e k=-1. A série de Fourier (coeficientes) pode ser lida diretamente da decomposição:
f(t)=\frac{1}{2j}e^{j\omega_0 t} - \frac{1}{2j}e^{-j\omega_0 t},
logo os coeficientes (da forma f(t)=\sum c_k e^{jk\omega_1 t}) são c_{+1}=\dfrac{1}{2j} e c_{-1}=-\dfrac{1}{2j}.
  • Seus módulos ao quadrado são |c_{+1}|^2=|c_{-1}|^2=\dfrac{1}{4}.
  • A densidade espectral de potência é então
S_f(\omega)=2\pi\sum_k |c_k|^2\,\delta(\omega-k\omega_1) =2\pi\cdot\frac{1}{4}\Bigl(\delta(\omega-\omega_0)+\delta(\omega+\omega_0)\Bigr).
Simplificando o fator:
S_f(\omega)=\frac{\pi}{2}\Bigl(\delta(\omega-\omega_0)+\delta(\omega+\omega_0)\Bigr).
  • Como checagem rápida, a potência média do sinal (área total de S_f(\omega)/(2\pi) ou soma de |c_k|^2) é \dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{2}, que é a potência média conhecida de \sin unitário — tudo consistente.

Passo 7

Resumo numérico com os valores de frequência explícitos para o caso dado:
  • \omega_0=10^{3}\pi\\ \text{rad/s}.
  • f_0=500\\ \text{Hz}.

Resposta

Amplitude: [\displaystyle |F(\omega)|=\pi\Bigl(\delta(\omega-10{3}\pi)+\delta(\omega+10{3}\pi)\Bigr))
Potência (densidade espectral de potência): \displaystyle S_f(\omega)=\frac{\pi}{2}\Bigl(\delta(\omega-10^{3}\pi)+\delta(\omega+10^{3}\pi)\Bigr)
Fase: (\displaystyle \arg F(\omega)= \begin{cases} -\dfrac{\pi}{2}, & \omega=+10^{3}\pi,\\[6pt] +\dfrac{\pi}{2}, & \omega=-10^{3}\pi,\\[6pt] \text{indefinida (não aplicável)}, & \text{caso contrário (onde }F(\omega)=0\text{).} \end{cases}ãáá]]

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