Represente a função indicada por uma integral apropriada do co-seno ou do seno.
Passo 1
O enunciado fornece a função
e pede para representá-la por uma integral apropriada do co-seno ou do seno. Ou seja, escrever
como uma superposição (integral) de funções trigonométricas do tipo
ou
, com um núcleo de integração explícito.
Informações dadas:
-
(assumir para a representação por transformadas sobre ). - Objetivo: obter uma representação do tipo integral envolvendo
ou .
Passo 2
Escolha do método e ideia geral (por que usar transformada de cosseno).
- Vou usar a transformada de cosseno (Fourier-cosseno) porque
é natural sobre e decai exponencialmente, o que torna a transformada bem comportada. - A ideia: expressar
como uma integral de cossenos com um peso :
Aqui
é a transformada de cosseno de
, definida por
onde
é a variável de integração original (tempo/espaço) e
é a frequência; a constante
aparece na fórmula de inversão no convênio que estou usando (existem convenções diferentes, mas esta é a mais comum em livros de equações diferenciais / transformadas).
Passo 3
Calcular
para
.
Escrevemos diretamente a transformada:
Escrevemos diretamente a transformada:
Para calcular essa integral, uso um truque padrão: considerar a integral mais simples
com
. Depois derivarei em relação a
para trazer um fator
.
Passo 4
Avaliar
(a integral básica).
- Interpretando
como a parte real de , tem-se
- A integral geométrica dá
para . - Tomando a parte real:
Aqui
é um parâmetro real positivo e
é a frequência.
Passo 5
Usar derivada em
para obter o fator
.
- Observe que
- Assim
- Já temos
. Vamos derivar em :
- Portanto
Passo 6
Especializar
(porque
corresponde a
).
- Substituindo
na expressão anterior obtemos
Passo 7
Montar a representação inversa (a integral que representa
).
- Usando a fórmula de inversão da transformada de cosseno:
substituímos
:
- Essa é a representação desejada:
expressa como uma integral de cossenos com núcleo explícito.