Represente a função indicada por uma integral apropriada do co-seno ou do seno.
f(x)=x e^{-x}

Passo 1

O enunciado fornece a função f(x)=x e^{-x} e pede para representá-la por uma integral apropriada do co-seno ou do seno. Ou seja, escrever f(x) como uma superposição (integral) de funções trigonométricas do tipo \cos(\omega x) ou \sin(\omega x), com um núcleo de integração explícito.
Informações dadas:
  • f(x)=x e^{-x} (assumir x\ge 0 para a representação por transformadas sobre [0,\infty)).
  • Objetivo: obter uma representação do tipo integral envolvendo \cos(\omega x) ou \sin(\omega x).

Passo 2

Escolha do método e ideia geral (por que usar transformada de cosseno).
  • Vou usar a transformada de cosseno (Fourier-cosseno) porque f(x) é natural sobre [0,\infty) e decai exponencialmente, o que torna a transformada bem comportada.
  • A ideia: expressar f(x) como uma integral de cossenos com um peso F_c(\omega):
f(x)=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\infty}F_c(\omega)\cos(\omega x)\,d\omega.
Aqui F_c(\omega) é a transformada de cosseno de f, definida por
F_c(\omega)=\int_{0}^{\infty}f(t)\cos(\omega t)\,dt,
onde t é a variável de integração original (tempo/espaço) e \omega é a frequência; a constante \dfrac{2}{\pi} aparece na fórmula de inversão no convênio que estou usando (existem convenções diferentes, mas esta é a mais comum em livros de equações diferenciais / transformadas).

Passo 3

Calcular F_c(\omega) para f(t)=t e^{-t}.
Escrevemos diretamente a transformada:
F_c(\omega)=\int_{0}^{\infty} t e^{-t}\cos(\omega t)\,dt.
Para calcular essa integral, uso um truque padrão: considerar a integral mais simples
I(s,\omega)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\cos(\omega t)\,dt,
com s>0. Depois derivarei em relação a s para trazer um fator t.

Passo 4

Avaliar I(s,\omega) (a integral básica).
  • Interpretando \cos(\omega t) como a parte real de e^{i\omega t}, tem-se
\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\cos(\omega t)\,dt=\Re\!\left(\int_{0}^{\infty} e^{-(s-i\omega)t}\,dt\right).
  • A integral geométrica dá \displaystyle\int_{0}^{\infty} e^{-(s-i\omega)t}\,dt=\frac{1}{s-i\omega} para \Re(s)>0.
  • Tomando a parte real:
I(s,\omega)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\cos(\omega t)\,dt=\frac{s}{s^{2}+\omega^{2}}.
Aqui s é um parâmetro real positivo e \omega é a frequência.

Passo 5

Usar derivada em s para obter o fator t.
  • Observe que
\frac{\partial}{\partial s} I(s,\omega)=\frac{\partial}{\partial s}\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\cos(\omega t)\,dt=\int_{0}^{\infty}\frac{\partial}{\partial s}\big(e^{-s t}\big)\cos(\omega t)\,dt=\int_{0}^{\infty}(-t)e^{-s t}\cos(\omega t)\,dt.
  • Assim
\int_{0}^{\infty} t e^{-s t}\cos(\omega t)\,dt=-\frac{\partial}{\partial s}I(s,\omega).
  • Já temos I(s,\omega)=\dfrac{s}{s^{2}+\omega^{2}}. Vamos derivar em s:
\frac{\partial}{\partial s}\left(\frac{s}{s^{2}+\omega^{2}}\right) =\frac{(s^{2}+\omega^{2})-s(2s)}{(s^{2}+\omega^{2})^{2}} =\frac{\omega^{2}-s^{2}}{(s^{2}+\omega^{2})^{2}}.
  • Portanto
\int_{0}^{\infty} t e^{-s t}\cos(\omega t)\,dt=-\frac{\omega^{2}-s^{2}}{(s^{2}+\omega^{2})^{2}}=\frac{s^{2}-\omega^{2}}{(s^{2}+\omega^{2})^{2}}.

Passo 6

Especializar s=1 (porque f(t)=t e^{-t} corresponde a s=1).
  • Substituindo s=1 na expressão anterior obtemos
F_c(\omega)=\int_{0}^{\infty} t e^{-t}\cos(\omega t)\,dt=\frac{1^{2}-\omega^{2}}{(1^{2}+\omega^{2})^{2}}=\frac{1-\omega^{2}}{(1+\omega^{2})^{2}}.

Passo 7

Montar a representação inversa (a integral que representa f).
  • Usando a fórmula de inversão da transformada de cosseno:
f(x)=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\infty}F_c(\omega)\cos(\omega x)\,d\omega,
substituímos F_c(\omega):
f(x)=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\infty}\frac{1-\omega^{2}}{(1+\omega^{2})^{2}}\cos(\omega x)\,d\omega.
  • Essa é a representação desejada: f(x) expressa como uma integral de cossenos com núcleo explícito.

Resposta

f(x)=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\infty}\frac{1-\omega^{2}}{(1+\omega^{2})^{2}}\cos(\omega x)\,d\omega.

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