Determinar as soluções das seguintes equações diferenciais.
\mathbf{y}^{\prime \prime}+0,2 \mathbf{y}^{\prime}+0,26 \mathbf{y}=0

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as soluções da equação diferencial linear homogênea com coeficientes constantes
\mathbf{y}'' + 0,2\,\mathbf{y}' + 0,26\,\mathbf{y}=0.
Informações dadas (peguei os coeficientes diretamente do enunciado):
  • Coeficiente do termo de segunda derivada: a=1.
  • Coeficiente do termo de primeira derivada: b=0,2.
  • Coeficiente do termo sem derivada: c=0,26.
O que é pedido: determinar a solução geral \mathbf{y}=\mathbf{y}(t) dessa equação (ou seja, todas as soluções gerais).

Passo 2

Método que vamos usar (explicando passo a passo): para equações do tipo
\mathbf{y}''+b\,\mathbf{y}'+c\,\mathbf{y}=0
procuramos soluções da forma exponencial \mathbf{y}(t)=e^{\lambda t}. Isso funciona porque derivadas de exponenciais retornam exponenciais e a equação se reduz a uma equação algébrica para \lambda (a chamada equação característica). Explico: se \mathbf{y}=e^{\lambda t} então \mathbf{y}'=\lambda e^{\lambda t} e \mathbf{y}''=\lambda^2 e^{\lambda t}. Substituindo na EDO e dividindo por e^{\lambda t} (nunca zero) obtém-se a equação polinomial
\lambda^2 + b\lambda + c = 0.
As raízes dessa equação indicam os expoentes das exponenciais que geram as soluções. Se as raízes forem complexas conjugadas \alpha\pm \mathrm{i}\beta, a solução real geral é
\mathbf{y}(t)=e^{\alpha t}\big(C_1\cos(\beta t)+C_2\sin(\beta t)\big),
onde C_1,C_2 são constantes arbitrárias (explico o porquê disso nos próximos passos).

Passo 3

Formar a equação característica com os coeficientes dados:
\lambda^2 + 0,2\lambda + 0,26 = 0.
Calcular o discriminante \Delta = b^2 - 4ac:
b^2 = (0,2)^2 = 0,04, \qquad 4ac = 4\cdot1\cdot0,26 = 1,04,
\Delta = 0,04 - 1,04 = -1,0.
Como \Delta<0, as raízes são complexas conjugadas.

Passo 4

Calcular as raízes complexas usando a fórmula quadrática:
\lambda = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-0,2 \pm \sqrt{-1,0}}{2} = \frac{-0,2 \pm \mathrm{i}}{2}.
Dividindo por 2 obtemos
\lambda = -0,1 \pm 0,5\,\mathrm{i}.
Aqui \alpha=-0,1 é a parte real e \beta=0,5 é a parte imaginária positiva.

Passo 5

Transformação das soluções complexas para solução real (aula curta): as soluções complexas e^{(\alpha+\mathrm{i}\beta)t} e e^{(\alpha-\mathrm{i}\beta)t} são soluções da EDO, mas como queremos solução real usamos a identidade de Euler
e^{\mathrm{i}\beta t}=\cos(\beta t)+\mathrm{i}\sin(\beta t).
Multiplicando por e^{\alpha t} e combinando as duas soluções complexas linearmente (com coeficientes complexos conjugados) obtem-se duas soluções reais linearmente independentes e^{\alpha t}\cos(\beta t) e e^{\alpha t}\sin(\beta t). Assim a solução geral real é
\mathbf{y}(t)=e^{\alpha t}\big(C_1\cos(\beta t)+C_2\sin(\beta t)\big),
onde C_1,C_2 são constantes reais arbitrárias (surgem porque a EDO é de segunda ordem, logo precisa de duas constantes para a família geral de soluções).

Passo 6

Aplicando \alpha=-0,1 e \beta=0,5 à fórmula acima obtemos a solução geral da equação dada:
\mathbf{y}(t)=e^{-0,1t}\big(C_1\cos(0,5t)+C_2\sin(0,5t)\big),
com C_1,C_2\in\mathbb{R}.

Passo 7

Dica prática para a prova: se houver condições iniciais \mathbf{y}(0)=y_0 e \mathbf{y}'(0)=y_1, encontra-se rapidamente C_1 e C_2 usando
\mathbf{y}(0)=C_1=y_0, \qquad \mathbf{y}'(0)=\alpha C_1+\beta C_2=y_1.
Portanto
C_1=y_0,\qquad C_2=\frac{y_1-\alpha y_0}{\beta}.
No caso específico \alpha=-0,1, \beta=0,5 isso vira
C_2= \frac{y_1 + 0,1\,y_0}{0,5}=2\big(y_1+0,1\,y_0\big).

Passo 8

Resumo final: a equação tem raízes complexas -0,1\pm 0,5\,\mathrm{i} e a solução geral é uma exponencial amortecida multiplicando seno e cosseno. Vai dar tudo certo na prova — pratica dois ou três exercícios parecidos e fica automático!

Resposta

\mathbf{y}(t)=e^{-0,1t}\big(C_1\cos(0,5t)+C_2\sin(0,5t)\big),\qquad C_1,C_2\in\mathbb{R}

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