Determinar as soluções das seguintes equações diferenciais.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar as soluções da equação diferencial linear homogênea com coeficientes constantes
Informações dadas (peguei os coeficientes diretamente do enunciado):
- Coeficiente do termo de segunda derivada:
. - Coeficiente do termo de primeira derivada:
. - Coeficiente do termo sem derivada:
.
O que é pedido: determinar a solução geral
dessa equação (ou seja, todas as soluções gerais).
Passo 2
Método que vamos usar (explicando passo a passo): para equações do tipo
procuramos soluções da forma exponencial
. Isso funciona porque derivadas de exponenciais retornam exponenciais e a equação se reduz a uma equação algébrica para
(a chamada equação característica). Explico: se
então
e
. Substituindo na EDO e dividindo por
(nunca zero) obtém-se a equação polinomial
As raízes dessa equação indicam os expoentes das exponenciais que geram as soluções. Se as raízes forem complexas conjugadas
, a solução real geral é
onde
são constantes arbitrárias (explico o porquê disso nos próximos passos).
Passo 3
Formar a equação característica com os coeficientes dados:
Calcular o discriminante
:
Como
, as raízes são complexas conjugadas.
Passo 4
Calcular as raízes complexas usando a fórmula quadrática:
Dividindo por
obtemos
Aqui
é a parte real e
é a parte imaginária positiva.
Passo 5
Transformação das soluções complexas para solução real (aula curta): as soluções complexas
e
são soluções da EDO, mas como queremos solução real usamos a identidade de Euler
Multiplicando por
e combinando as duas soluções complexas linearmente (com coeficientes complexos conjugados) obtem-se duas soluções reais linearmente independentes
e
. Assim a solução geral real é
onde
são constantes reais arbitrárias (surgem porque a EDO é de segunda ordem, logo precisa de duas constantes para a família geral de soluções).
Passo 6
Aplicando
e
à fórmula acima obtemos a solução geral da equação dada:
com
.
Passo 7
Dica prática para a prova: se houver condições iniciais
e
, encontra-se rapidamente
e
usando
Portanto
No caso específico
,
isso vira
Passo 8
Resumo final: a equação tem raízes complexas
e a solução geral é uma exponencial amortecida multiplicando seno e cosseno. Vai dar tudo certo na prova — pratica dois ou três exercícios parecidos e fica automático!