Represente graficamente a função f definida por \mathrm{f}(\mathrm{x})=\ell \mathrm{n}|\mathrm{x}|.

Passo 1

O enunciado pede para desenhar o gráfico da função
f(x)=\ln\lvert x\rvert.
O conteúdo envolvido é gráfico de funções logarítmicas e tratamento de valor absoluto. Para resolver, vamos identificar domínio, ramos da função, assíntotas e pontos-chave e, a partir daí, montar o esboço do gráfico.

Passo 2

Primeiro, determinamos o domínio e separamos em dois ramos:
– Para x>0, temos \lvert x\rvert = x, logo
f(x)=\ln(x).
– Para x<0, temos \lvert x\rvert = -x, logo
f(x)=\ln(-x).
Portanto o domínio é \mathbb{R}\setminus\{0\} e a função se comporta como \ln(x) à direita de zero e como \ln(-x) à esquerda.

Passo 3

Agora vemos o comportamento nos limites e as assíntotas:
– Quando x\to0^+, \ln(x)\to -\infty.
– Quando x\to0^-, \ln(-x)\to -\infty.
Em ambos os lados, há uma assíntota vertical em x=0.
– Quando x\to+\infty, \ln(x)\to+\infty.
– Quando x\to-\infty, \ln(-x)\to+\infty.

Passo 4

Escolhemos alguns pontos notáveis para cada ramo:
Para x>0: \,(1,0),\;(e,1),\;(1/e,-1).
Para x<0: \,(-1,0),\;(-e,1),\;(-1/e,-1).

Passo 5

Com domínio, assíntota, limites e pontos em mãos, traçamos o esboço:
– Ramo direito x>0: curva característica de \ln(x), crescente, cortando o eixo x em (1,0) e subindo lentamente.
– Ramo esquerdo x<0: espelho do ramo direito em relação ao eixo y, cortando o eixo x em (-1,0).
– Linha tracejada vertical em x=0 como assíntota, pois f(x)\to -\infty ao se aproximar de zero.

Resposta

O gráfico de f(x)=\ln\lvert x\rvert é formado por dois ramos:
– Para x>0, a curva de \ln(x).
– Para x<0, a curva de \ln(-x), simétrica ao ramo direito em relação ao eixo y.
Há assíntota vertical em x=0.

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