Construa os gráficos das funções:
f(x)=\| \log _{2}|x| \mid

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico da função
f(x)=\bigl|\log_{2}\lvert x\rvert\bigr|.
O conteúdo aqui é interpretação de gráfico de logaritmo e uso de valor absoluto. Vamos precisar:
  1. Identificar o domínio.
  2. Explorar simetria.
  3. Analisar o sinal de \log_{2}\lvert x\rvert para montar as duas “peças” da função.
  4. Ver comportamentos limites e ponto de mínimo.

Passo 2

Determinar o domínio e a simetria:
  • O logaritmo \log_{2}\lvert x\rvert exige \lvert x\rvert>0, logo o domínio é
x\in(-\infty,0)\cup(0,\infty).
  • Como só aparece \lvert x\rvert dentro do log e depois valor absoluto, vale
f(-x)=\bigl|\log_{2}\lvert -x\rvert\bigr|=\bigl|\log_{2}\lvert x\rvert\bigr|=f(x),
ou seja, o gráfico é simétrico em relação ao eixo y. Basta esboçar para x>0 e refletir para x<0.

Passo 3

Analisar o ramo x>0. Nesse caso \lvert x\rvert=x e
f(x)=\bigl|\log_{2}x\bigr|.
Dividimos em dois intervalos naturalmente:
  1. Para 0<x<1 temos \log_{2}x<0, então
f(x)=-\log_{2}x=\log_{2}\!\bigl(x^{-1}\bigr).
  1. Para x\ge1 temos \log_{2}x\ge0, então
f(x)=\log_{2}x.

Passo 4

Estudar cada ramo no lado positivo:
  • Ramo 0<x<1: f(x)=-\log_{2}x é decrescente, tende a +\infty quando x\to0^+ e vale f(1)=0.
  • Ramo x\ge1: f(x)=\log_{2}x é crescente, vale f(1)=0 e tende a +\infty quando x\to+\infty.
    Logo em x=1 temos o ponto mínimo global f(1)=0.

Passo 5

Concluir forma do gráfico e refletir:
  • Há uma “parede” vertical em x=0: f(x)\to+\infty quando x\to0^\pm.
  • Em x=1 e x=-1, o valor mínimo f=\!0.
  • Para x>1, o gráfico cresce suavemente com a forma de \log_{2}x.
  • Para 0<x<1, o gráfico decresce, vindo de +\infty em x=0 até 0 em x=1.
  • Repetimos simetricamente para x<0.

Resposta

O gráfico de f(x)=\bigl|\log_{2}\lvert x\rvert\bigr| é simétrico em y- e tem:
• Uma assíntota vertical em x=0, com f(x)\to+\infty em x\to0^\pm.
• Ponto de mínimo f(1)=f(-1)=0.
• Para 0<x<1, curva decrescente de +\infty (em x\to0^+) até 0 (em x=1), dada por f(x)=-\log_{2}x.
• Para x>1, curva crescente de 0 até +\infty, dada por f(x)=\log_{2}x.
• O mesmo ocorre espelhado para x<0.

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