represente graficamente os pontos z=x+i y que satisfazem as condições determinadas.
|z+1|=|z-1|

Passo 1

O enunciado pede o lugar geométrico dos pontos z=x+iy no plano complexo que satisfazem
|z+1| = |z-1|.
O conteúdo aqui é geometria analítica em coordenadas cartesianas: queremos o conjunto de (x,y) tais que a distância de (x,y) a (-1,0) seja igual à distância a (1,0).

Passo 2

Escrevemos as distâncias em função de x e y:
|z+1| = \sqrt{(x+1)^2 + y^2},
|z-1| = \sqrt{(x-1)^2 + y^2}.
A condição é
\sqrt{(x+1)^2 + y^2} \;=\;\sqrt{(x-1)^2 + y^2}.

Passo 3

Elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes:
(x+1)^2 + y^2 = (x-1)^2 + y^2.
Como y^2 aparece em ambos os lados, ele se cancela, restando
(x+1)^2 = (x-1)^2.
Expandindo,
x^2 + 2x + 1 = x^2 -2x + 1
2x = -2x
4x = 0
x = 0.

Passo 4

A equação x=0 define o eixo imaginário no plano complexo, ou seja, a reta vertical que passa pela origem e tem parte real nula. Graficamente, é a reta
\{\,x+iy \mid x=0,\;y\in\mathbb{R}\}.

Resposta

O lugar geométrico é o eixo imaginário, isto é, todos os pontos z com \Re(z)=0.

Exercícios relacionados