Represente no plano de Argand-Gauss o conjunto dos pontos z tais que:
|z-3 i|<1

Passo 1

O enunciado pede: representar no plano de Argand-Gauss o conjunto dos pontos z tais que
|z-3i|<1.
Informações dadas e relevantes: a desigualdade envolve o módulo de um número complexo subtraído de 3i e o número 1 à direita da desigualdade. Não há outras informações escondidas no enunciado.

Passo 2

Vamos traduzir o enunciado para coordenadas cartesianas do plano complexo (isso facilita desenhar). Seja
z = x + iy,
onde x e y são números reais que correspondem, respectivamente, às coordenadas horizontais e verticais do ponto que representa z no plano de Argand-Gauss. Aqui x é a abscissa e y é a ordenada (a parte imaginária).
Explicação do conceito usado: o módulo de um número complexo é a distância do ponto que representa esse número até a origem. Logo, |z-3i| é a distância entre o ponto z e o ponto 3i (que no plano tem coordenadas (0,3)). Essa interpretação geométrica é fundamental para entender o que a desigualdade descreve.

Passo 3

Calculemos explicitamente |z-3i| em termos de x e y. Substituindo z=x+iy temos
z-3i = x + i(y-3).
O módulo é
|z-3i| = \sqrt{x^{2} + (y-3)^{2}}.
A desigualdade dada fica então
\sqrt{x^{2} + (y-3)^{2}} < 1.
Como ambos lados são não negativos, podemos elevar ao quadrado sem alterar a desigualdade, obtendo
x^{2} + (y-3)^{2} < 1.

Passo 4

Interpretação da inequação obtida: a forma
x^{2} + (y-3)^{2} = 1
é a equação de uma circunferência com centro em (0,3) e raio 1. Como temos desigualdade estrita <1, o conjunto descrito é o disco aberto formado por todos os pontos cuja distância ao centro (0,3) é menor que 1.
Como desenhar (passos práticos para a prova):
  • Marque no eixo imaginário o ponto (0,3) — esse é o centro 3i.
  • Trace uma circunferência de raio 1 em torno desse centro. Como a desigualdade é estrita, desenhe a curva limite tracejada ou destaque que a fronteira não está incluída.
  • Sombras a região interior dessa circunferência (todos os pontos dentro), pois são esses que satisfazem a condição.
  • Exemplos para testar: z=3i |z-3i|=0<1 (dentro); z=1+3i |z-3i|=1 (na fronteira, não incluída); z=0+3{,}5i |z-3i|=0{,}5<1 (dentro); z=0+4{,}5i |z-3i|=1{,}5>1 (fora).

Passo 5

Formato paramétrico útil (se quiser descrever o conjunto analiticamente): pontos do disco podem ser escritos como
z = 3i + re^{i\theta},
com 0 \le r < 1 e 0 \le \theta < 2\pi. Aqui r é a distância ao centro e \theta o ângulo polar. A fronteira corresponderia a r=1 (mas não está incluída).

Resposta

\{\,z\in\mathbb{C}\mid |z-3i|<1\,\} = \{\,x+iy\mid x^{2}+(y-3)^{2}<1\,\}
Disco aberto de centro (0,3) e raio 1 (no plano de Argand-Gauss), com a fronteira não incluída.

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