Represente no plano de Argand-Gauss o conjunto dos pontos z tais que:
Passo 1
O enunciado pede: representar no plano de Argand-Gauss o conjunto dos pontos
tais que
Informações dadas e relevantes: a desigualdade envolve o módulo de um número complexo subtraído de
e o número
à direita da desigualdade. Não há outras informações escondidas no enunciado.
Passo 2
Vamos traduzir o enunciado para coordenadas cartesianas do plano complexo (isso facilita desenhar). Seja
onde
e
são números reais que correspondem, respectivamente, às coordenadas horizontais e verticais do ponto que representa
no plano de Argand-Gauss. Aqui
é a abscissa e
é a ordenada (a parte imaginária).
Explicação do conceito usado: o módulo de um número complexo é a distância do ponto que representa esse número até a origem. Logo,
é a distância entre o ponto
e o ponto
(que no plano tem coordenadas
). Essa interpretação geométrica é fundamental para entender o que a desigualdade descreve.
Passo 3
Calculemos explicitamente
em termos de
e
. Substituindo
temos
O módulo é
A desigualdade dada fica então
Como ambos lados são não negativos, podemos elevar ao quadrado sem alterar a desigualdade, obtendo
Passo 4
Interpretação da inequação obtida: a forma
é a equação de uma circunferência com centro em
e raio
. Como temos desigualdade estrita
, o conjunto descrito é o disco aberto formado por todos os pontos cuja distância ao centro
é menor que
.
Como desenhar (passos práticos para a prova):
- Marque no eixo imaginário o ponto
— esse é o centro . - Trace uma circunferência de raio
em torno desse centro. Como a desigualdade é estrita, desenhe a curva limite tracejada ou destaque que a fronteira não está incluída. - Sombras a região interior dessa circunferência (todos os pontos dentro), pois são esses que satisfazem a condição.
- Exemplos para testar:
dá (dentro); dá (na fronteira, não incluída); dá (dentro); dá (fora).
Passo 5
Formato paramétrico útil (se quiser descrever o conjunto analiticamente): pontos do disco podem ser escritos como
com
e
. Aqui
é a distância ao centro e
o ângulo polar. A fronteira corresponderia a
(mas não está incluída).
Resposta
Disco aberto de centro