Represente no plano de Argand-Gauss o conjunto dos pontos z tais que:
|z-3+i|<2

Passo 1

O enunciado pede para representar no plano de Argand-Gauss o conjunto dos pontos z tais que |z-3+i|<2.\n
Informações dadas:
  • A expressão que define o conjunto é |z-3+i|<2.
  • Não há outras restrições; queremos a representação geométrica desse conjunto no plano complexo.

Passo 2

Vamos escrever um número complexo z na forma cartesiana para entender o que a desigualdade significa. Escrevemos
z = x + iy
onde x é a coordenada no eixo real e y é a coordenada no eixo imaginário. Aqui x e y são números reais.

Passo 3

Substituímos z=x+iy na desigualdade |z-3+i|<2. Primeiro reescrevemos o termo subtraído como um único número complexo:
z-3+i = (x+iy)-3+i = (x-3) + i(y+1).
A magnitude (módulo) de um complexo a+ib é \sqrt{a^2+b^2}. Então
|z-3+i| = \sqrt{(x-3)^2 + (y+1)^2}.

Passo 4

A desigualdade |z-3+i|<2 vira, usando o resultado do passo anterior,
\sqrt{(x-3)^2 + (y+1)^2} < 2.
Elevando ambos os lados ao quadrado (operacão válida porque ambos lados são não-negativos) obtemos
(x-3)^2 + (y+1)^2 < 4.

Passo 5

A inequação (x-3)^2 + (y+1)^2 < 4 é a equação (estritamente) interior de um círculo no plano cartesiano: é o conjunto de pontos cuja distância ao ponto (3,-1) é menor que 2. Portanto geometricamente trata-se de um disco aberto de centro (3,-1) e raio 2. Em termos de complexos, o centro corresponde ao número complexo 3-i.

Passo 6

Interpretação prática para desenhar no plano de Argand-Gauss:
  • Marque o ponto 3-i, isto é a coordenada (3,-1) (eixo real horizontal em 3, eixo imaginário vertical em -1).
  • Desenhe uma circunferência de raio 2 centrada nesse ponto.
  • Como a desigualdade é estrita ( <), pintamos o interior desse círculo, mas não incluímos a circunferência (é um disco aberto).
    Exemplos de pontos: z=3-i está no conjunto (distância 0); z=5-i não está (distância 2, ponto da fronteira e não incluído).

Resposta

\{\,z\in\mathbb{C}\mid |z-(3-i)|<2\,\} (disco aberto de centro 3-i — ou seja, coordenada (3,-1) — e raio 2).

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