Represente no plano de Argand-Gauss o conjunto dos pontos z tais que:
Passo 1
O enunciado pede para representar no plano de Argand-Gauss o conjunto dos pontos
tais que
.\n
Informações dadas:
Informações dadas:
- A expressão que define o conjunto é
. - Não há outras restrições; queremos a representação geométrica desse conjunto no plano complexo.
Passo 2
Vamos escrever um número complexo
na forma cartesiana para entender o que a desigualdade significa. Escrevemos
onde
é a coordenada no eixo real e
é a coordenada no eixo imaginário. Aqui
e
são números reais.
Passo 3
Substituímos
na desigualdade
. Primeiro reescrevemos o termo subtraído como um único número complexo:
A magnitude (módulo) de um complexo
é
. Então
Passo 4
A desigualdade
vira, usando o resultado do passo anterior,
Elevando ambos os lados ao quadrado (operacão válida porque ambos lados são não-negativos) obtemos
Passo 5
A inequação
é a equação (estritamente) interior de um círculo no plano cartesiano: é o conjunto de pontos cuja distância ao ponto
é menor que
. Portanto geometricamente trata-se de um disco aberto de centro
e raio
. Em termos de complexos, o centro corresponde ao número complexo
.
Passo 6
Interpretação prática para desenhar no plano de Argand-Gauss:
- Marque o ponto
, isto é a coordenada (eixo real horizontal em , eixo imaginário vertical em ). - Desenhe uma circunferência de raio
centrada nesse ponto. - Como a desigualdade é estrita (
), pintamos o interior desse círculo, mas não incluímos a circunferência (é um disco aberto).
Exemplos de pontos:está no conjunto (distância ); não está (distância , ponto da fronteira e não incluído).