Represente os seguintes números no plano complexo.
C=-10-j

Passo 1

O enunciado pede para representar no plano complexo o número C=-10-j.
Informações dadas:
  • O número complexo é C=-10-j.
  • A unidade imaginária foi escrita como j (mesma coisa que i em muitas disciplinas).
  • A tarefa é colocar esse número no plano complexo (ou seja, identificar o ponto/vektor que corresponde a C).

Passo 2

Identificar as partes real e imaginária do número (isso é essencial antes de plotar).
  • A parte real é o coeficiente que multiplica 1. Aqui \operatorname{Re}\text{(C)} = -10.
  • A parte imaginária é o coeficiente que multiplica j. Aqui \operatorname{Im}\text{(C)} = -1.
Explicação curta e prática: um número complexo a+bj corresponde ao ponto de coordenadas (a,b) no plano, onde o eixo horizontal é o eixo real e o eixo vertical é o eixo imaginário.

Passo 3

Como localizar o ponto no plano passo a passo (sem desenhar, para fazer na prova você segue estas instruções):
  1. Comece na origem (0,0).
  2. Vá para a esquerda 10 unidades porque \operatorname{Re}\text{(C)}=-10.
  3. A partir desse ponto, desça 1 unidade porque \operatorname{Im}\text{(C)}=-1.
  4. Marque o ponto obtido. Esse ponto é a representação de C.
Em termos simples: o ponto é (-10,-1). Dica prática para prova: pensar “esquerda 10, baixo 1”.

Passo 4

Entender e calcular o módulo (comprimento do vetor que vai da origem até o ponto) — isso ajuda a desenhar em escala e também é útil se pedirem forma polar.
Fórmula do módulo para um número a+bj:
|a+bj|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}.
Aplicando a C:
|C|=\sqrt{(-10)^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{100+1}=\sqrt{101}\approx10,05.
Explicação: o módulo é a distância euclidiana usual no plano entre (0,0) e (a,b).

Passo 5

Calcular o argumento (ângulo que o vetor forma com o eixo real positivo). Primeiro a ideia: o argumento \theta satisfaz \tan(\theta)=\dfrac{\operatorname{Im}\text{(C)}}{\operatorname{Re}\text{(C)}}, mas é preciso ajustar o ângulo conforme o quadrante onde o ponto está.
Passos práticos:
  1. Calcular o ângulo de referência (positivo): \varphi=\arctan\!\bigg(\left|\dfrac{\operatorname{Im}\text{(C)}}{\operatorname{Re}\text{(C)}}\right|\bigg)=\arctan(0,1)\approx0,0996687\\ \text{rad} (aprox. 5,7106^\circ).
  2. Determinar o quadrante: aqui \operatorname{Re}\text{(C)}=-10<0 e \operatorname{Im}\text{(C)}=-1<0, ou seja, terceiro quadrante.
  3. Para obter o argumento principal (no intervalo (-\pi,\pi]) usa-se a correção adequada. Uma forma prática é:
  • como o ponto está no terceiro quadrante, o argumento principal é \theta=-\pi+\varphi (valor negativo próximo de -\pi), o que dá
\theta\approx -\pi+0,0996687\approx -3,0419239\\ \text{rad}\approx -174,29^\circ.
Alternativamente, a mesma direção pode ser dada por um ângulo positivo coterminal
\theta'=\pi+0,0996687\approx 3,2412613\\ \text{rad}\approx 185,71^\circ.
Ambas representam a mesma posição no plano; o \arg principal normalmente se dá em (-\pi,\pi], então \theta\approx-3,0419\\ \text{rad}.

Passo 6

Escrever as formas usuais de representação (útil para a prova: retangular e polar):
  • Forma retangular (cartesiana): o número corresponde ao ponto
(-10,-1).
  • Forma polar (usando módulo e argumento):
C=|C|\big(\cos\theta+j\sin\theta\big)=\sqrt{101}\big(\cos(-3,0419)+j\sin(-3,0419)\big).
Também se pode escrever usando a exponencial:
C=\sqrt{101}\,e^{\,j(-3,0419)}.

Resposta

Ponto no plano complexo: (-10,-1)
Módulo: |C|=\sqrt{101}\approx10,05
Argumento principal: \arg\text{(C)}\approx-3,0419\\ \text{rad}\approx-174,29^\circ
Forma polar: C=\sqrt{101}\,e^{\,j(-3,0419)}

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