Represente os seguintes números no plano complexo.
\mathbf{C}=\mathbf{3}+\mathbf{j 4}

Passo 1

O enunciado pede para representar o número complexo C=3+j4 no plano complexo. As informações dadas são:
  • O número complexo é C=3+j4.
  • Não há outras condições; o objetivo é desenhar/identificar este número no plano e também é útil colocar sua forma polar (módulo e argumento).

Passo 2

O que significa representar um número complexo no plano complexo (explicação didática):
  • O plano complexo é um plano cartesiano onde o eixo horizontal é o eixo das partes reais (chamado eixo \Re) e o eixo vertical é o eixo das partes imaginárias (chamado eixo \Im).
  • Um número complexo genérico \,a+j b\, corresponde ao ponto de coordenadas (a,b), isto é, a na horizontal e b na vertical.
  • Para representar graficamente, marca-se a origem O=(0,0), desloca-se a unidades à direita (ou à esquerda se a<0) e b unidades para cima (ou para baixo se b<0), e coloca-se um ponto nessa posição. Também costuma-se desenhar o vetor (ou flecha) do origem até esse ponto para visualizar módulo e argumento.

Passo 3

Aplicando isso ao nosso número: como C=3+j4, temos a=3 e b=4. Logo o ponto correspondente é (3,4).
  • Na prática para desenhar: a partir da origem, anda 3 unidades para a direita no eixo \Re e depois 4 unidades para cima no eixo \Im. Marca-se o ponto e, se quiser, desenha-se uma seta do O até (3,4).

Passo 4

Agora vamos calcular o módulo (distância do ponto à origem), que serve para desenhar o comprimento do vetor e para a forma polar.
  • Definição: o módulo de um complexo \,a+j b\, é \,|a+j b|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\,. Isso vem do Teorema de Pitágoras, porque o segmento do origem ao ponto (a,b) forma um triângulo retângulo com catetos a e b.
  • Aplicando:
|C|=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5.

Passo 5

Agora o argumento (ângulo que o vetor faz com o eixo real positivo).
  • Definição: para um número \,a+j b\, no primeiro ou quarto quadrante (quando a\neq0), pode-se usar \displaystyle \arg(a+j b)=\arctan\!\left(\frac{b}{a}\right), lembrando sempre de checar o quadrante para ajustar o ângulo se necessário.
  • Aqui a=3>0 e b=4>0, então estamos no primeiro quadrante e podemos usar diretamente a fórmula.
\arg\text{(C)}=\arctan\!\left(\frac{4}{3}\right).
  • Valor numérico aproximado (usar calculadora na prova se permitido; este valor é padrão):
\arg\text{(C)}\approx0,9273\\ \text{rad}\approx53,13^\circ.

Passo 6

Forma polar e forma exponencial (úteis para cálculos e para visualizar):
  • A forma polar (forma trigonométrica) de um complexo é |C|(\cos\theta + j\sin\theta), onde \theta=\arg\text{(C)}.
  • Aplicando ao nosso caso:
C=5\big(\cos(0,9273)+j\sin(0,9273)\big).
  • A forma exponencial (Euler) é C=|C|e^{j\theta}, então
C=5e^{j0,9273}.

Passo 7

Dicas rápidas para a prova (motivação e truque):
  • Reconheça o triângulo 3- 4- 5 de olhos fechados: se aparecer 3 e 4 nas coordenadas, o módulo cai direto 5. Isso economiza tempo!
  • Sempre verifique o sinal de a e b para colocar o ângulo no quadrante certo (p.ex. se a<0 adicionar \pi, etc.).
  • Desenhe rápido o ponto e uma seta do origem: isso ajuda na interpretação e evita erros.

Resposta

\text{Ponto no plano: }(3,4)
|C|=5
\arg\text{(C)}=\arctan\!\left(\dfrac{4}{3}\right)\approx0,9273\\ \text{rad}\approx53,13^\circ
\text{Forma polar: }C=5\big(\cos(0,9273)+j\sin(0,9273)\big)
\text{Forma exponencial: }C=5e^{j0,9273}

Exercícios relacionados