Represente os seguintes números no plano complexo.
Passo 1
O enunciado pede para representar o número complexo
no plano complexo. As informações dadas são:
- O número complexo é
. - Não há outras condições; o objetivo é desenhar/identificar este número no plano e também é útil colocar sua forma polar (módulo e argumento).
Passo 2
O que significa representar um número complexo no plano complexo (explicação didática):
- O plano complexo é um plano cartesiano onde o eixo horizontal é o eixo das partes reais (chamado eixo
) e o eixo vertical é o eixo das partes imaginárias (chamado eixo ). - Um número complexo genérico
corresponde ao ponto de coordenadas , isto é, na horizontal e na vertical. - Para representar graficamente, marca-se a origem
, desloca-se unidades à direita (ou à esquerda se ) e unidades para cima (ou para baixo se ), e coloca-se um ponto nessa posição. Também costuma-se desenhar o vetor (ou flecha) do origem até esse ponto para visualizar módulo e argumento.
Passo 3
Aplicando isso ao nosso número: como
, temos
e
. Logo o ponto correspondente é
.
- Na prática para desenhar: a partir da origem, anda 3 unidades para a direita no eixo
e depois 4 unidades para cima no eixo . Marca-se o ponto e, se quiser, desenha-se uma seta do até .
Passo 4
Agora vamos calcular o módulo (distância do ponto à origem), que serve para desenhar o comprimento do vetor e para a forma polar.
- Definição: o módulo de um complexo
é . Isso vem do Teorema de Pitágoras, porque o segmento do origem ao ponto forma um triângulo retângulo com catetos e . - Aplicando:
Passo 5
Agora o argumento (ângulo que o vetor faz com o eixo real positivo).
- Definição: para um número
no primeiro ou quarto quadrante (quando ), pode-se usar , lembrando sempre de checar o quadrante para ajustar o ângulo se necessário. - Aqui
e , então estamos no primeiro quadrante e podemos usar diretamente a fórmula.
- Valor numérico aproximado (usar calculadora na prova se permitido; este valor é padrão):
Passo 6
Forma polar e forma exponencial (úteis para cálculos e para visualizar):
- A forma polar (forma trigonométrica) de um complexo é
, onde . - Aplicando ao nosso caso:
- A forma exponencial (Euler) é
, então
Passo 7
Dicas rápidas para a prova (motivação e truque):
- Reconheça o triângulo
- - de olhos fechados: se aparecer e nas coordenadas, o módulo cai direto . Isso economiza tempo! - Sempre verifique o sinal de
e para colocar o ângulo no quadrante certo (p.ex. se adicionar , etc.). - Desenhe rápido o ponto e uma seta do origem: isso ajuda na interpretação e evita erros.