Represente os seguintes números no plano complexo.
\mathbf{C}=\mathbf{5} \angle 300^{\circ}

Passo 1

O enunciado dá o número complexo em forma polar \,C=5\angle300^\circ.\nO que é pedido: representar esse número no plano complexo — ou seja, obter sua forma retangular (parte real e imaginária) e, se desejável, a forma exponencial/algébrica correspondente.

Passo 2

Entendendo o que significa a notação \,r\angle\theta.\nA notação \,r\angle\theta representa o número complexo com módulo r e argumento \theta. Em palavras, é o ponto no plano complexo situado a distância r da origem e formando um ângulo \theta (medido no sentido anti-horário a partir do eixo real positivo).\nA relação entre a forma polar e a forma retangular (parte real x e parte imaginária y) é dada por:
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
ou seja,
r\angle\theta = x + i y = r\big(\cos\theta + i\sin\theta\big).
Aqui r é o módulo (um número real não negativo) e \theta é o argumento em graus ou radianos; \cos e \sin são as funções trigonométricas que dão as coordenadas no círculo unidade.

Passo 3

Converter o ângulo \,300^\circ para uma referência trigonométrica conveniente.\nNote que \,300^\circ = 360^\circ-60^\circ. Isso significa que \,300^\circ está no quarto quadrante, e os valores de cosseno e seno relacionam-se aos de 60^\circ por:
\cos300^\circ = \cos60^\circ,\qquad \sin300^\circ = -\sin60^\circ.
Também é útil lembrar os valores exatos para 60^\circ:
\cos60^\circ = \tfrac{1}{2},\qquad \sin60^\circ = \tfrac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 4

Calcular as componentes real e imaginária usando r=5 e \theta=300^\circ.\nUsando x=r\cos\theta e y=r\sin\theta, obtemos:
x = 5\cos300^\circ = 5\cdot\tfrac{1}{2} = \tfrac{5}{2},
y = 5\sin300^\circ = 5\cdot\left(-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\tfrac{5\sqrt{3}}{2}.
Portanto, na forma retangular o número é
\frac{5}{2} - i\frac{5\sqrt{3}}{2}.

Passo 5

Expressões alternativas equivalentes e interpretação geométrica.\nComo ponto no plano complexo esse número corresponde ao par ordenado
\left(\tfrac{5}{2},\; -\tfrac{5\sqrt{3}}{2}\right),
onde a primeira coordenada é a parte real e a segunda é a parte imaginária. Em forma exponencial (Euler), lembrando que \,300^\circ = \dfrac{5\pi}{3}, pode-se também escrever:
5\angle300^\circ = 5e^{i5\pi/3}.

Resposta

\displaystyle \frac{5}{2}-i\frac{5\sqrt{3}}{2}
\displaystyle \left(\frac{5}{2},-\frac{5\sqrt{3}}{2}\right)
\displaystyle 5e^{i5\pi/3}

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