Represente os seguintes números no plano complexo.
Passo 1
O enunciado dá o número complexo em forma polar
.\nO que é pedido: representar esse número no plano complexo — ou seja, obter sua forma retangular (parte real e imaginária) e, se desejável, a forma exponencial/algébrica correspondente.
Passo 2
Entendendo o que significa a notação
.\nA notação
representa o número complexo com módulo
e argumento
. Em palavras, é o ponto no plano complexo situado a distância
da origem e formando um ângulo
(medido no sentido anti-horário a partir do eixo real positivo).\nA relação entre a forma polar e a forma retangular (parte real
e parte imaginária
) é dada por:
ou seja,
Aqui
é o módulo (um número real não negativo) e
é o argumento em graus ou radianos;
e
são as funções trigonométricas que dão as coordenadas no círculo unidade.
Passo 3
Converter o ângulo
para uma referência trigonométrica conveniente.\nNote que
. Isso significa que
está no quarto quadrante, e os valores de cosseno e seno relacionam-se aos de
por:
Também é útil lembrar os valores exatos para
:
Passo 4
Calcular as componentes real e imaginária usando
e
.\nUsando
e
, obtemos:
Portanto, na forma retangular o número é
Passo 5
Expressões alternativas equivalentes e interpretação geométrica.\nComo ponto no plano complexo esse número corresponde ao par ordenado
onde a primeira coordenada é a parte real e a segunda é a parte imaginária. Em forma exponencial (Euler), lembrando que
, pode-se também escrever: