Represente os seguintes números no plano complexo.
\mathrm{C}=5 \angle 30^{\circ}

Passo 1

O enunciado dá o número complexo em forma polar:
C = 5 \angle 30^\circ.
O que a questão pede é representar esse número no plano complexo, ou seja, escrever C na forma retangular x + i y e indicar as coordenadas do ponto correspondente no plano ( x é a parte real e y é a parte imaginária). As informações úteis que já temos:
  • módulo (distância ao origem): r=5,
  • argumento (ângulo com o eixo real positivo): \theta=30^\circ.

Passo 2

Fórmula de conversão polar → retangular (explicação didática):
Um número complexo em coordenadas polares é escrito como r\angle\theta. Para passar para a forma x+iy usamos as definições trigonométricas num triângulo retângulo: o cosseno dá a razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa, e o seno dá a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa. Portanto:
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta.
Aqui x é a parte real, y é a parte imaginária (coeficiente de i), r é o módulo e \theta é o ângulo medido a partir do eixo real positivo.

Passo 3

Valores trigonométricos exatos para \theta=30^\circ (por que eles são esses):
Cortando um triângulo equilátero ao meio obtém-se um triângulo retângulo com ângulos 30^\circ, 60^\circ, 90^\circ. Nesse triângulo as razões trigonométricas são:
\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2},\qquad \sin 30^\circ = \frac{1}{2}.
Esses são valores padrão que vale a pena decorar para resolver rápido na prova.

Passo 4

Calcular a parte real x:
x = r\cos\theta = 5\cos 30^\circ = 5\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{5\sqrt{3}}{2}.
Aproximação decimal (para visualizar): \sqrt{3}\approx 1,73205, então
x \approx 4,3301.

Passo 5

Calcular a parte imaginária y:
y = r\sin\theta = 5\sin 30^\circ = 5\cdot\frac{1}{2} = \frac{5}{2}.
Aproximação decimal:
y = 2,5.

Passo 6

Montar a forma retangular e a coordenada no plano complexo:
A forma retangular é
C = x + i y = \frac{5\sqrt{3}}{2} + i\,\frac{5}{2}.
O ponto correspondente no plano complexo tem coordenadas
\left(\frac{5\sqrt{3}}{2},\;\frac{5}{2}\right)\approx (4,3301,\;2,5).

Passo 7

Verificação rápida (para ficar tranquilo): mostrar que o módulo e o ângulo retornam aos originais.
Calcular x^2+y^2:
x^2+y^2=\left(\frac{5\sqrt{3}}{2}\right)^2+\left(\frac{5}{2}\right)^2=\frac{25\cdot 3}{4}+\frac{25}{4}=\frac{100}{4}=25,
logo \sqrt{x^2+y^2}=5, que é o módulo dado. O ângulo é \arctan\!\left(\dfrac{y}{x}\right)=\arctan\!\left(\dfrac{1/2}{\sqrt{3}/2}\right)=\arctan\!\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)=30^\circ. Tudo confere.

Passo 8

Como plotar rapidamente na prova (dica prática):
  • eixo horizontal = parte real, eixo vertical = parte imaginária;
  • marque x=\dfrac{5\sqrt{3}}{2} à direita da origem e y=\dfrac{5}{2} para cima; o ponto resultante é a representação de C.

Resposta

\displaystyle C=\frac{5\sqrt{3}}{2}+i\,\frac{5}{2}
\displaystyle C\approx 4,3301 + i\,2,5

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