Represente os seguintes números no plano complexo.
Passo 1
O enunciado dá o número complexo em forma polar:
O que a questão pede é representar esse número no plano complexo, ou seja, escrever
na forma retangular
e indicar as coordenadas do ponto correspondente no plano (
é a parte real e
é a parte imaginária). As informações úteis que já temos:
- módulo (distância ao origem):
, - argumento (ângulo com o eixo real positivo):
.
Passo 2
Fórmula de conversão polar → retangular (explicação didática):
Um número complexo em coordenadas polares é escrito como . Para passar para a forma
usamos as definições trigonométricas num triângulo retângulo: o cosseno dá a razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa, e o seno dá a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa. Portanto:
Um número complexo em coordenadas polares é escrito como
Aqui
é a parte real,
é a parte imaginária (coeficiente de
),
é o módulo e
é o ângulo medido a partir do eixo real positivo.
Passo 3
Valores trigonométricos exatos para
(por que eles são esses):
Cortando um triângulo equilátero ao meio obtém-se um triângulo retângulo com ângulos ,
,
. Nesse triângulo as razões trigonométricas são:
Cortando um triângulo equilátero ao meio obtém-se um triângulo retângulo com ângulos
Esses são valores padrão que vale a pena decorar para resolver rápido na prova.
Passo 4
Calcular a parte real
:
Aproximação decimal (para visualizar):
, então
Passo 5
Calcular a parte imaginária
:
Aproximação decimal:
Passo 6
Montar a forma retangular e a coordenada no plano complexo:
A forma retangular é
A forma retangular é
O ponto correspondente no plano complexo tem coordenadas
Passo 7
Verificação rápida (para ficar tranquilo): mostrar que o módulo e o ângulo retornam aos originais.
Calcular :
Calcular
logo
, que é o módulo dado. O ângulo é
. Tudo confere.
Passo 8
Como plotar rapidamente na prova (dica prática):
- eixo horizontal = parte real, eixo vertical = parte imaginária;
- marque
à direita da origem e para cima; o ponto resultante é a representação de .