1. Represente 3.1 no sistema binário ( \beta=2 ) de ponto flutuante com 8 dígitos da mantissa ( t=8 ).

Passo 1

O enunciado pede: representar o número decimal 3{,}1 no sistema de ponto flutuante binário com base \beta=2 e mantissa com t=8 dígitos.
Informações dadas e o que se pede:
  • Número a representar: 3{,}1 (decimal).
  • Base: \beta=2 (sistema binário).
  • Comprimento da mantissa: t=8 dígitos (isto é, o significando normalizado terá 8 bits no total, contando o dígito 1 à esquerda do ponto).
    Objetivo: obter a representação normalizada e arredondada (para um formato de mantissa com 8 bits).

Passo 2

Primeiro converto a parte inteira 3 para binário. Dividindo por 2:
  • 3 \div 2 = 1 resto 1 (bit menos significativo)
  • 1 \div 2 = 0 resto 1 (bit mais significativo)
    Logo a parte inteira 3_{10} em binário é 11_2. Ou seja,
3 = 11_2.

Passo 3

Agora converto a parte fracionária 0{,}1 (decimal) para binário usando multiplicações por 2 (trabalho bit a bit):
Fração inicial f=0{,}1.
\begin{array}{lcl} f\times2=0{,}2 &\Rightarrow& \text{bit}_1=0,\\ f\leftarrow0{,}2\\\\ 0{,}2\times2=0{,}4 &\Rightarrow& \text{bit}_2=0,\\ f\leftarrow0{,}4\\\\ 0{,}4\times2=0{,}8 &\Rightarrow& \text{bit}_3=0,\\ f\leftarrow0{,}8\\\\ 0{,}8\times2=1{,}6 &\Rightarrow& \text{bit}_4=1,\\ f\leftarrow0{,}6\\\\ 0{,}6\times2=1{,}2 &\Rightarrow& \text{bit}_5=1,\\ f\leftarrow0{,}2\\\\ 0{,}2\times2=0{,}4 &\Rightarrow& \text{bit}_6=0,\\ f\leftarrow0{,}4\\\\ 0{,}4\times2=0{,}8 &\Rightarrow& \text{bit}_7=0,\\ f\leftarrow0{,}8\\\\ 0{,}8\times2=1{,}6 &\Rightarrow& \text{bit}_8=1,\\ f\leftarrow0{,}6\\\ \text{e assim por diante.} \end{array}
Os bits obtidos começam por 0,0,0,1,1,0,0,1,\dots — portanto a expansão binária de 0{,}1_{10} é periódica:
0{,}1_{10}=0{,}0001100110011\ldots_2.

Passo 4

Combino parte inteira e fracionária: 3{,}1_{10} = 11{.}0001100110011\ldots_2.

Passo 5

Normalizo a representação para a forma 1.\text{(mantissa)}\times2^{e}. Como 11{.}\dots_2 = 1{.}1000110011\ldots_2 \times 2^{1}, temos o expoente e=1 e o significando (infinito)
1{.}10001100110011\ldots_2.
Explicação sobre t=8: t conta todos os dígitos do significando (o dígito à esquerda do ponto também). Com t=8 devemos ter exatamente 8 bits no significando: o primeiro é o 1 obrigatório e mais 7 bits fracionários. Então precisamos pegar os primeiros 7 bits da parte fracionária do significando e depois decidir arredondamento.

Passo 6

Extraio os primeiros 7 bits fracionários do significando normalizado:
a parte fracionária do significando é 1000110011\ldots, logo os primeiros 7 bits fracionários são
f_1,f_2,\dots,f_7 = 1,0,0,0,1,1,0.
Assim os 8 dígitos do significando (incluindo o 1 inicial) são
1\;1\;0\;0\;0\;1\;1\;0,
ou seja o significando truncado é 1{.}1000110_2.
Agora verifico o próximo bit (o bit de guarda) para arredondamento: o próximo bit (o oitavo bit fracionário, que seria o nono dígito do significando) é f_8=0. Como o bit seguinte é 0, o arredondamento para o mais próximo não incrementa o campo da mantissa. Portanto mantém-se
1{.}1000110_2
como significando com t=8 dígitos.

Passo 7

Escrevo a representação final em ponto flutuante normalizado (base 2, t=8):
3{,}1 \approx 1{.}1000110_2 \times 2^{1}.
Para checar o valor aproximado: 1{.}1000110_2 = 1 + \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{32} + \tfrac{1}{64} = 1{,}546875. Multiplicando por 2 3{,}09375, que é a aproximação binária com t=8 dígitos (erro 3{,}1-3{,}09375=-0{,}00625).

Resposta

3{,}1 \approx 1{.}1000110_2 \times 2^{1}

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