1. Represente 2.7 no sistema binário ( \beta=2 ) de ponto flutuante com 8 dígitos da mantissa ( t=8 ).

Passo 1

O que o exercício pede e o que temos: representar o número decimal 2{,}7 no sistema de ponto flutuante em base \beta=2 com t=8 dígitos na mantissa. Ou seja, queremos a forma normalizada
\pm 1.\text{(mantissa com \(t=8\) bits)} \times 2^{e},
com arredondamento para ajustar a mantissa a 8 bits (o enunciado não diz qual regra de arredondamento; vou usar o arredondamento para o mais próximo — “round to nearest”, que é o mais usual). Vamos listar as informações dadas:
  • número a converter: 2{,}7 (base decimal);
  • base: \beta=2;
  • tamanho da mantissa: t=8 (bits da fração, além do 1 implícito na mantissa normalizada).

Passo 2

Converter a parte inteira 2 para binário. Isso é simples: 2 em base decimal é 10 em base binária. Em notação:
2_{10} = 10_2.

Passo 3

Converter a parte fracionária 0{,}7 para binário com o método “multiplica por 2”: multiplicamos a fração por 2 repetidas vezes, anotando a parte inteira de cada produto como o próximo bit binário fracção e usando o resto para o próximo passo. Faço as contas em forma racional para ficar exato:
Começando com r_0 = \tfrac{7}{10}.
  1. r_0\cdot 2 = \tfrac{14}{10} = 1 + \tfrac{4}{10}. Bit 1: 1. Resto r_1=\tfrac{4}{10}=\tfrac{2}{5}.
  2. r_1\cdot 2 = \tfrac{4}{5}. Bit 2: 0. Resto r_2=\tfrac{4}{5}.
  3. r_2\cdot 2 = \tfrac{8}{5} = 1 + \tfrac{3}{5}. Bit 3: 1. Resto r_3=\tfrac{3}{5}.
  4. r_3\cdot 2 = \tfrac{6}{5} = 1 + \tfrac{1}{5}. Bit 4: 1. Resto r_4=\tfrac{1}{5}.
  5. r_4\cdot 2 = \tfrac{2}{5}. Bit 5: 0. Resto r_5=\tfrac{2}{5}.
Observação: r_5=\tfrac{2}{5}=r_1, então os restos vão repetir a partir daqui, gerando um período na expansão binária. Portanto a expansão fracionária em binário é periódica. Os bits obtidos são
0{,}7_{10} = 0.\underbrace{1\,0\,1\,1}_{\text{primeiros 4 bits}}\,\underbrace{0\,1\,1\,0}_{\text{repetição}}\,\underbrace{0\,1\,1\,0}\dots_2.çã
Uma forma compacta é
0{,}7_{10} = 0.1\overline{0110}_2,
isto é, a sequência 0110 se repete infinitamente após o primeiro 1.

Passo 4

Combinar parte inteira e fracionária em binário:
2{,}7_{10} = 10.101100110011\ldots_2.
Para normalizar (forma 1.\text{(frac)}\times 2^{e}) deslocamos o ponto uma posição para a esquerda:
10.1011001100\ldots_2 = 1.01011001100\ldots_2 \times 2^{1}.
Portanto o expoente (não viés) é e=1 e o mantissal normalizado tem a parte fracionária (após o 1 implícito)
0101100110011\ldots

Passo 5

Precisamos guardar t=8 bits da mantissa (ou seja, 8 bits após o ponto na parte normalizada). Tomamos os primeiros 8 bits da fração da mantissa e olhamos o bit seguinte para decidir o arredondamento.
Os bits da mantissa (imediatamente após o 1 implícito) são:
m_1 m_2 m_3 m_4 m_5 m_6 m_7 m_8 m_9 \ldots = 0\;1\;0\;1\;1\;0\;0\;1\;1\ldots
Logo os primeiros 8 bits são
\underbrace{0\,1\,0\,1\,1\,0\,0\,1}_{\text{8 bits iniciais}}.
O próximo bit (o nono, que é o primeiro descartado) é m_9=1. Além disso existem bits não nulos depois disso (a sequência continua), logo a porção descartada é maior do que exatamente metade — pelo critério “round to nearest” devemos arredondar para cima.

Passo 6

Aplicando arredondamento para o mais próximo: somamos 1 ao menor bit mantido (LSB) se a porção descartada é maior que metade. Aqui m_9=1 e há bits subsequentes não nulos, então arredondamos para cima.
Mantissa antes do arredondamento: 01011001.
Somar 1 no bit menos significativo:
01011001_2 + 1_2 = 01011010_2.
Não houve anulação por carry além do LSB, então mantissa final arredondada é 01011010.

Passo 7

Montando a representação final normalizada (com sinal positivo porque 2{,}7>0):
+1.01011010_2 \times 2^{1}.
Como verificação rápida, esse valor decimal é
(1{,}01011010_2)\times 2^{1} = 1{,}3515625\times 2 = 2{,}703125,
que é uma aproximação razoável de 2{,}7 com t=8 bits na mantissa.

Resposta

+1.01011010_2 \times 2^{1}

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