Resahar as EDOs:
a) x dy/dx = y + x e^(y/x)

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial . Aqui, estamos lidando com uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar uma substituição que simplifique a equação, facilitando a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a equação. Vamos definir:
Isso significa que:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de em relação a :

Passo 4

Substituímos e na equação original:
Simplificando:

Passo 5

Vamos cancelar os termos semelhantes de ambos os lados:
Dividindo ambos os lados por :

Passo 6

Agora, separamos as variáveis e :

Passo 7

Integramos ambos os lados:
A integral do lado esquerdo é:
E a integral do lado direito é:
Onde e são constantes de integração.

Passo 8

Igualando as integrais:
Onde é uma nova constante.

Passo 9

Resolvendo para :
Tomando o logaritmo natural de ambos os lados:
Mas, para simplificar, podemos reescrever a solução em termos de :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante arbitrária.

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