Um reservatório fornece água para a comunidade. No verão, a demanda A de água ( em \mathrm{m}^{3} / dia) varia de acordo com a fórmula
\frac{d A}{d t}=4000+2000 \operatorname{sen}\left(\frac{1}{90} \pi t\right)
para o tempo t (em dias), com t=0 correspondendo ao início do verão. Estime o consumo total de água durante 90 dias de verão.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (todas as unidades estão explicitadas):
  • Está dada a taxa temporal
\frac{dA}{dt}=4000+2000\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{90}t\right),
onde t está em dias.
  • O enunciado pede: estimar o consumo total de água durante 90 dias de verão.
Observações importantes que eu peguei do enunciado:
  • A expressão fornecida relaciona uma derivada temporal \dfrac{dA}{dt} com t.
  • As constantes numéricas estão em unidades compatíveis com volume por tempo (o resultado final de integrar essa taxa ao longo do tempo será um volume, em \mathrm{m}^{3}).

Passo 2

Entender o que integrar (a ideia física e a técnica).
  • Quando uma função R(t) dá a taxa instantânea de consumo (volume por dia), o consumo total entre t=0 e t=T é a integral
\int_{0}^{T} R(t)\,dt.
  • Aqui a função fornecida é \dfrac{dA}{dt}. Se interpretarmos \dfrac{dA}{dt} como a taxa instantânea de consumo (em \mathrm{m}^{3}/\text{dia}), então o consumo total em 0\le t\le 90 é
\int_{0}^{90}\frac{dA}{dt}\,dt.
  • Uma propriedade básica do cálculo (teorema fundamental do cálculo) diz que
\int_{0}^{90}\frac{dA}{dt}\,dt=A(90)-A(0).
Se contarmos o consumo desde o início do verão, podemos tomar A(0)=0, e assim o consumo total será simplesmente \int_{0}^{90}\dfrac{dA}{dt}\,dt. Vou seguir essa hipótese natural (começar a contagem do volume consumido em zero no início do verão).

Passo 3

Escrever a integral que vamos calcular e separar termos simples para integrar:
\int_{0}^{90}\left(4000+2000\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{90}t\right)\right)dt = \int_{0}^{90}4000\,dt + \int_{0}^{90}2000\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{90}t\right)dt.
Agora integramos cada parcela separadamente.

Passo 4

Integral do termo constante:
  • A integral de uma constante C em relação a t sobre um intervalo de comprimento L é C\cdot L.
  • Portanto
\int_{0}^{90}4000\,dt = 4000\cdot 90 = 360000.
A unidade desse resultado é \mathrm{m}^{3}.

Passo 5

Integral do termo com seno (detalhando passo a passo a técnica de antiderivada):
  • Considere \displaystyle \int \operatorname{sen}(k t)\,dt. Uma antiderivada é -\dfrac{1}{k}\cos(k t), porque ao derivar -\dfrac{1}{k}\cos(k t) obtém-se \operatorname{sen}(k t).
  • No nosso caso k=\dfrac{\pi}{90}. Então
\int 2000\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{90}t\right)dt =2000\left(-\frac{1}{k}\cos\!\left(k t\right)\right) =2000\left(-\frac{90}{\pi}\cos\!\left(\frac{\pi}{90}t\right)\right).
  • Agora aplicamos os limites de 0 a 90:
\int_{0}^{90}2000\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{90}t\right)dt = -2000\cdot\frac{90}{\pi}\left[\cos\!\left(\frac{\pi}{90}t\right)\right]_{0}^{90}.

Passo 6

Avaliar o cosseno nos extremos e simplificar:
  • Calcular os cossenos:
\cos\!\left(\frac{\pi}{90}\cdot 90\right)=\cos(\pi)=-1, \qquad \cos\!\left(\frac{\pi}{90}\cdot 0\right)=\cos(0)=1.
  • Substituindo na expressão da integral:
\int_{0}^{90}2000\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{90}t\right)dt = -2000\cdot\frac{90}{\pi}\bigl(\cos(\pi)-\cos(0)\bigr) = -2000\cdot\frac{90}{\pi}(-1-1).
  • Simplificando:
-2000\cdot\frac{90}{\pi}(-2)=2000\cdot\frac{180}{\pi}=\frac{360000}{\pi}.
A unidade é \mathrm{m}^{3}.

Passo 7

Somar as duas parcelas para obter o consumo total:
\text{consumo total} = 360000 + \frac{360000}{\pi}\\ \mathrm{m}^{3}.
Para um valor numérico aproximado, usando \pi\approx 3{,}14159,
\frac{360000}{\pi}\approx 114591{,}6,
então
360000+\frac{360000}{\pi}\approx 474591{,}6\\ \mathrm{m}^{3}.
Arredondando para o metro cúbico inteiro mais próximo obtemos 474592\\ \mathrm{m}^{3}.

Resposta

360000+\frac{360000}{\pi}\\ \mathrm{m}^{3}\approx 474592\\ \mathrm{m}^{3}

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