Um reservatório fornece água para a comunidade. No verão, a demanda A de água ( em
dia) varia de acordo com a fórmula
para o tempo
(em dias), com
correspondendo ao início do verão. Estime o consumo total de água durante 90 dias de verão.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (todas as unidades estão explicitadas):
- Está dada a taxa temporal
onde
está em dias.
- O enunciado pede: estimar o consumo total de água durante
dias de verão.
Observações importantes que eu peguei do enunciado:
- A expressão fornecida relaciona uma derivada temporal
com . - As constantes numéricas estão em unidades compatíveis com volume por tempo (o resultado final de integrar essa taxa ao longo do tempo será um volume, em
).
Passo 2
Entender o que integrar (a ideia física e a técnica).
- Quando uma função
dá a taxa instantânea de consumo (volume por dia), o consumo total entre e é a integral
- Aqui a função fornecida é
. Se interpretarmos como a taxa instantânea de consumo (em ), então o consumo total em é
- Uma propriedade básica do cálculo (teorema fundamental do cálculo) diz que
Se contarmos o consumo desde o início do verão, podemos tomar
, e assim o consumo total será simplesmente
. Vou seguir essa hipótese natural (começar a contagem do volume consumido em zero no início do verão).
Passo 3
Escrever a integral que vamos calcular e separar termos simples para integrar:
Agora integramos cada parcela separadamente.
Passo 4
Integral do termo constante:
- A integral de uma constante
em relação a sobre um intervalo de comprimento é . - Portanto
A unidade desse resultado é
.
Passo 5
Integral do termo com seno (detalhando passo a passo a técnica de antiderivada):
- Considere
. Uma antiderivada é , porque ao derivar obtém-se . - No nosso caso
. Então
- Agora aplicamos os limites de
a :
Passo 6
Avaliar o cosseno nos extremos e simplificar:
- Calcular os cossenos:
- Substituindo na expressão da integral:
- Simplificando:
A unidade é
.
Passo 7
Somar as duas parcelas para obter o consumo total:
Para um valor numérico aproximado, usando
,
então
Arredondando para o metro cúbico inteiro mais próximo obtemos
.