Uma galeria circular em tubos de concreto será construída para veicular inicialmente uma vazão de 0,5 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}, com declividade de fundo igual a 0,002 \mathrm{~m} / \mathrm{m}. Considerandose \mathrm{n}=0,013 e lâmina d’água (y/D) igual a 0,6 , determinar o diâmetro comercial para essa galeria e a tensão trativa média para esse diâmetro. Considerar \gamma=10^{4} \mathrm{~N} / \mathrm{m}^{3} e que os diâmetros comerciais para galerias estão entre 400 e 1500 mm , com variações de 100 mm

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • Determinar o diâmetro comercial para a galeria circular, sabendo que ela deve escoar inicialmente 0,5\\ \mathrm{m^{3}/s} com declividade de fundo S=0,002\\ \mathrm{m/m}, coeficiente de rugosidade n=0,013 e lâmina d’água relativa y/D=0,6. Os diâmetros comerciais possíveis são entre 400 e 1500\\ \mathrm{mm} com passos de 100\\ \mathrm{mm}.
  • Calcular a tensão trativa média (tensão no leito) para o diâmetro comercial escolhido, usando \gamma=10^{4}\\ \mathrm{N/m^{3}}.
Dados fornecidos (peguei todos do enunciado):
  • Vazão: \,Q=0,5\\ \mathrm{m^{3}/s}.
  • Declividade de fundo: \,S=0,002.
  • Coeficiente de Manning: \,n=0,013.
  • Lâmina relativa: \,y/D=0,6.
  • Peso específico da água: \,\gamma=10^{4}\\ \mathrm{N/m^{3}}.
  • Diâmetros comerciais: 400,500,\dots,1500\\ \mathrm{mm}.

Passo 2

Vamos usar a fórmula de Manning para condutos parcialmente cheios e as relações geométricas do segmento circular para achar a relação entre Q e D. Vou explicar cada fórmula e variável antes de usar:
  • Fórmula de Manning (para escoamento uniforme em aberto):
Q=\frac{1}{n}\,A\,R^{2/3}\,S^{1/2},
onde:
  • Q é a vazão ( \mathrm{m^{3}/s});
  • n é o coeficiente de rugosidade (adimensional);
  • A é a área úmida do escoamento ( \mathrm{m^{2}});
  • R é o raio hidráulico ( R=A/P, em \mathrm{m}), onde P é o perímetro molhado ( \mathrm{m});
  • S é a declividade de fundo (adimensional).
No caso de uma seção circular parcialmente cheia (profundidade y em tubo de diâmetro D), precisamos expressar A e P em função de D e de y. Vou deduzir essas expressões.

Passo 3

Geometria do segmento circular (passo-a-passo):
  • Defina raio r=D/2.
  • A superfície livre corta o círculo formando um arco cujo ângulo central total (em radianos) é 2\theta. A meia-ângulo \theta (em rad) satisfaz
\cos\theta=\frac{r-y}{r}.
Aqui r-y é a distância vertical do centro do círculo até a superfície livre (tomei y medido a partir do fundo).
  • Para o problema temos y/D=0,6. Então:
\frac{r-y}{r}=1-\frac{y}{r}=1-\frac{2y}{D}=1-2\cdot\frac{y}{D}.
Substituindo \frac{y}{D}=0,6:
\frac{r-y}{r}=1-2\cdot0,6=1-1,2=-0,2.
Logo
\cos\theta=-0,2 \quad\Rightarrow\quad \theta=\operatorname{arccos}(-0,2).
Valor numérico:
\theta\approx 1,77215\\ \text{rad}.

Passo 4

Área úmida A e perímetro molhado P para o segmento rompido:
  • Fórmulas conhecidas (obtidas por geometria de segmento circular):
A=r^{2}\bigl(\theta-\sin\theta\cos\theta\bigr), \qquad P=2r\theta.
Explicando: 2\theta é o ângulo central do arco molhado; a expressão de A provém da área do setor menos a área do triângulo isósceles que fica entre os raios e a corda.
Substituindo r=D/2 e fatorando D:
A=\frac{D^{2}}{4}\bigl(\theta-\sin\theta\cos\theta\bigr), \qquad P=D\theta.
Usando o valor de \theta calculado:
  • Calcule \sin\theta. Como \cos\theta=-0,2,
\sin\theta=\sqrt{1-\cos^{2}\theta}=\sqrt{1-0,04}=\sqrt{0,96}\approx 0,97980.
  • Então
\theta-\sin\theta\cos\theta \approx 1,77215 - (0,97980)(-0,2)=1,77215+0,19596\approx 1,96811.
Assim
A=\frac{D^{2}}{4}\cdot 1,96811 \approx 0,492028\,D^{2}.
E
P=D\theta \approx D\cdot 1,77215.
Portanto o raio hidráulico é
R=\frac{A}{P}\approx \frac{0,492028\,D^{2}}{1,77215\,D}=D\cdot\frac{0,492028}{1,77215}\approx 0,277767\,D.
Resumo numérico útil (para y/D=0,6):
A\approx 0,492028\,D^{2},\qquad R\approx 0,277767\,D.

Passo 5

Substituir A e R na fórmula de Manning e isolar D.
A fórmula de Manning fica:
Q=\frac{1}{n}\,A\,R^{2/3}\,S^{1/2} =\frac{1}{n}\left(0,492028\,D^{2}\right)\left(0,277767\,D\right)^{2/3}S^{1/2}.
Agrupando potências de D:
Q = K\,D^{2+\tfrac{2}{3}} = K\,D^{8/3},
onde
K=\frac{1}{n}\,0,492028\,(0,277767)^{2/3}\,S^{1/2}.
Agora calculamos K numericamente (usando n=0,013 e S=0,002):
  • Primeiro (0,277767)^{2/3}\approx 0,4256 (valor aproximado).
  • S^{1/2}=\sqrt{0,002}\approx 0,044721.
  • Então
K\approx\frac{1}{0,013}\cdot0,492028\cdot0,4256\cdot0,044721 \approx 76,9231\cdot0,209956\cdot0,044721 \approx 0,7225.
Portanto aproximadamente
Q\approx 0,7225\,D^{8/3}.

Passo 6

Determinar o diâmetro teórico D que dá Q=0,5\\ \mathrm{m^{3}/s}:
0,5=0,7225\,D^{8/3}\quad\Rightarrow\quad D^{8/3}=\frac{0,5}{0,7225}\approx 0,6919.
Tomando potência 3/8:
D\approx 0,6919^{3/8}\approx 0,871\\ \mathrm{m}=871\\ \mathrm{mm}.
Isto é o diâmetro contínuo ideal. Como devemos escolher um diâmetro comercial dentre 400,500,\dots,1500\\ \mathrm{mm}, escolhemos o menor comercial que seja maior ou igual a 871\\ \mathrm{mm}, ou seja 900\\ \mathrm{mm} (0,9 m). Vou verificar rapidamente que D=0,9\\ \mathrm{m} dá Q maior que 0,5.

Passo 7

Verificação para D=0,9\\ \mathrm{m} usando a expressão aproximada Q\approx0,7225\,D^{8/3}:
  • Calcule D^{8/3} para D=0,9:
D^{8/3}=(0,9)^{8/3}\approx 0,755.
  • Então
Q\approx 0,7225\cdot0,755\approx 0,545\\ \mathrm{m^{3}/s}.
Logo Q_{0,9}\approx 0,545\\ \mathrm{m^{3}/s}>0,5\\ \mathrm{m^{3}/s}. Para D=0,8\\ \mathrm{m} obteríamos Q\approx0,398\\ \mathrm{m^{3}/s} (menor que 0,5), portanto 900\\ \mathrm{mm} é a escolha comercial correta (menor disponível que satisfaz a demanda).

Passo 8

Calcular a tensão trativa média (tensão de cisalhamento média no leito) para D=0,9\\ \mathrm{m}.
A tensão trativa média em escoamento uniforme é dada por
\tau=\gamma\,R\,S,
onde R é o raio hidráulico (m), \gamma o peso específico (N/m³) e S a declividade.
Para y/D=0,6 temos R\approx 0,277767\,D. Com D=0,9\\ \mathrm{m}:
R\approx 0,277767\cdot0,9\approx 0,24999\\ \mathrm{m}\approx 0,25\\ \mathrm{m}.
Logo
\tau=\gamma R S = 10^{4}\cdot 0,25\cdot 0,002 = 10^{4}\cdot 0,0005 = 5\\ \mathrm{N/m^{2}}.
Portanto a tensão trativa média é \tau\approx 5\\ \mathrm{N/m^{2}} (que também é 5\\ \mathrm{Pa}).

Resposta

Diâmetro comercial escolhido: 900\\ \mathrm{mm}
Tensão trativa média: \tau\approx 5\\ \mathrm{N/m^{2}}

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