Uma galeria circular em tubos de concreto será construída para veicular inicialmente uma vazão de
, com declividade de fundo igual a
. Considerandose
e lâmina d’água (y/D) igual a 0,6 , determinar o diâmetro comercial para essa galeria e a tensão trativa média para esse diâmetro. Considerar
e que os diâmetros comerciais para galerias estão entre 400 e 1500 mm , com variações de 100 mm
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- Determinar o diâmetro comercial para a galeria circular, sabendo que ela deve escoar inicialmente
com declividade de fundo , coeficiente de rugosidade e lâmina d’água relativa . Os diâmetros comerciais possíveis são entre e com passos de . - Calcular a tensão trativa média (tensão no leito) para o diâmetro comercial escolhido, usando
.
Dados fornecidos (peguei todos do enunciado):
- Vazão:
. - Declividade de fundo:
. - Coeficiente de Manning:
. - Lâmina relativa:
. - Peso específico da água:
. - Diâmetros comerciais:
.
Passo 2
Vamos usar a fórmula de Manning para condutos parcialmente cheios e as relações geométricas do segmento circular para achar a relação entre
e
. Vou explicar cada fórmula e variável antes de usar:
- Fórmula de Manning (para escoamento uniforme em aberto):
onde:
-
é a vazão ( ); -
é o coeficiente de rugosidade (adimensional); -
é a área úmida do escoamento ( ); -
é o raio hidráulico ( , em ), onde é o perímetro molhado ( ); -
é a declividade de fundo (adimensional).
No caso de uma seção circular parcialmente cheia (profundidade
em tubo de diâmetro
), precisamos expressar
e
em função de
e de
. Vou deduzir essas expressões.
Passo 3
Geometria do segmento circular (passo-a-passo):
- Defina raio
. - A superfície livre corta o círculo formando um arco cujo ângulo central total (em radianos) é
. A meia-ângulo (em rad) satisfaz
Aqui
é a distância vertical do centro do círculo até a superfície livre (tomei
medido a partir do fundo).
- Para o problema temos
. Então:
Substituindo
:
Logo
Valor numérico:
Passo 4
Área úmida
e perímetro molhado
para o segmento rompido:
- Fórmulas conhecidas (obtidas por geometria de segmento circular):
Explicando:
é o ângulo central do arco molhado; a expressão de
provém da área do setor menos a área do triângulo isósceles que fica entre os raios e a corda.
Substituindo
e fatorando
:
Usando o valor de
calculado:
- Calcule
. Como ,
- Então
Assim
E
Portanto o raio hidráulico é
Resumo numérico útil (para
):
Passo 5
Substituir
e
na fórmula de Manning e isolar
.
A fórmula de Manning fica:
Agrupando potências de
:
onde
Agora calculamos
numericamente (usando
e
):
- Primeiro
(valor aproximado). -
. - Então
Portanto aproximadamente
Passo 6
Determinar o diâmetro teórico
que dá
:
Tomando potência
:
Isto é o diâmetro contínuo ideal. Como devemos escolher um diâmetro comercial dentre
, escolhemos o menor comercial que seja maior ou igual a
, ou seja
(0,9 m). Vou verificar rapidamente que
dá Q maior que 0,5.
Passo 7
Verificação para
usando a expressão aproximada
:
- Calcule
para :
- Então
Logo
. Para
obteríamos
(menor que 0,5), portanto
é a escolha comercial correta (menor disponível que satisfaz a demanda).
Passo 8
Calcular a tensão trativa média (tensão de cisalhamento média no leito) para
.
A tensão trativa média em escoamento uniforme é dada por
onde
é o raio hidráulico (m),
o peso específico (N/m³) e
a declividade.
Para
temos
. Com
:
Logo
Portanto a tensão trativa média é
(que também é
).
Resposta
Diâmetro comercial escolhido:
Tensão trativa média: