Um reservatório mantido em nível constante alimenta um canal retangular de 2,0 \mathrm{~m} de largura e \mathrm{n}=0,018, constituído de trecho longo \mathrm{AB}(\mathrm{IoAB}=0,01). Determine:
A vazão captada por esse canal e sua profundidade normal de escoamento ;

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Determinar a vazão captada pelo canal.
  • Determinar a profundidade normal de escoamento nesse canal.
Informações fornecidas (dados relevantes):
  • Largura do canal: b=2{,}0\\ \mathrm{m}.
  • Rugosidade de Manning: n=0{,}018.
  • Declividade do fundo do canal (trecho AB, trecho longo): I_{oAB}=0{,}01.
  • Nível do reservatório mantido: 100\\ \mathrm{m} (cota da lâmina livre).
  • Cota no ponto de entrada A (cota do fundo/início do canal): 98{,}5\\ \mathrm{m}.
  • Logo, a lâmina disponível na entrada (profundidade de jusante inicial imposta pelo reservatório) é \;100-98{,}5=1{,}5\\ \mathrm{m}.
Observação: os valores de 100\\ \mathrm{m} e 98{,}5\\ \mathrm{m} foram obtidos da imagem fornecida.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (aula rápida, sem pular etapas).
  1. Fórmula de Manning (para escoamento uniforme em canal aberto):
Q=\dfrac{1}{n}\,A\,R^{2/3}\,S^{1/2},
onde:
  • Q é a vazão (m³/s);
  • n é o coeficiente de rugosidade de Manning (adimensional);
  • A é a área molhada do fluxo (m²);
  • R é o raio hidráulico (m), definido por R=\dfrac{A}{P};
  • P é o perímetro molhado (m);
  • S é a declividade da linha de energia ou declividade do fundo para escoamento uniforme (adimensional); aqui S=I_{oAB}=0{,}01.
  1. Para canal retangular com largura b e profundidade de escoamento y:
A=b\,y, \qquad P=b+2y, \qquad R=\dfrac{A}{P}=\dfrac{b\,y}{b+2y}.
Explicando: a área molhada é simplesmente a largura vezes a profundidade; o perímetro molhado é a largura mais as duas paredes laterais submersas.
Estratégia: o reservatório fixa a profundidade na entrada em y_0=1{,}5\\ \mathrm{m}. A vazão captada é a vazão que corresponde a essa profundidade se o escoamento na seção de entrada se ajustar à lei de Manning com a declividade dada. Calcula-se Q usando y=y_0. Em seguida, a profundidade normal y_n para o canal, para essa mesma declividade e rugosidade, é a profundidade que satisfaz a mesma equação de Manning para a vazão encontrada; ao substituir os valores será verificado que y_n=y_0 (explicação e verificação nos passos seguintes).

Passo 3

Cálculo da vazão usando y=1{,}5\\ \mathrm{m}.
  1. Calcular área A:
A=b\,y=2{,}0\cdot 1{,}5=3{,}0\\ \mathrm{m}^2.
  1. Calcular perímetro molhado P:
P=b+2y=2{,}0+2\cdot 1{,}5=2{,}0+3{,}0=5{,}0\\ \mathrm{m}.
  1. Calcular raio hidráulico R:
R=\dfrac{A}{P}=\dfrac{3{,}0}{5{,}0}=0{,}6\\ \mathrm{m}.
  1. Calcular R^{2/3} e S^{1/2}:
R^{2/3}=(0{,}6)^{2/3}\approx 0{,}7114, \qquad S^{1/2}=\sqrt{0{,}01}=0{,}1.
  1. Aplicar Manning:
Q=\dfrac{1}{n}\,A\,R^{2/3}\,S^{1/2} =\dfrac{1}{0{,}018}\cdot 3{,}0\cdot 0{,}7114\cdot 0{,}1.
Calculemos em etapas:
\dfrac{1}{n}=\dfrac{1}{0{,}018}\approx 55{,}5556, \qquad \dfrac{1}{n}\cdot A=55{,}5556\cdot 3{,}0=166{,}6667.
Então
Q=166{,}6667\cdot 0{,}7114\cdot 0{,}1 =166{,}6667\cdot 0{,}07114 \approx 11{,}8567\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
Arredondando com razoável precisão:
Q\approx 11{,}86\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.

Passo 4

Cálculo e verificação da profundidade normal y_n.
Definição: a profundidade normal y_n é a profundidade para a qual, na seção considerada, o escoamento uniforme com declividade S conduz a mesma vazão Q segundo a fórmula de Manning. Assim y_n satisfaz a equação (colocando todos os dados conhecidos):
Q=\dfrac{1}{n}\,b\,y_n\left(\dfrac{b\,y_n}{b+2y_n}\right)^{2/3}S^{1/2}.
No nosso caso já obtivemos Q calculando com y=1{,}5\\ \mathrm{m}. Logo, se substituirmos y_n=1{,}5\\ \mathrm{m} na expressão do lado direito obtemos exatamente o mesmo Q (pois foi assim que Q foi calculado). Portanto:
y_n=1{,}5\\ \mathrm{m}.
Interpretação física curta e amigável: o reservatório fixa a lâmina na entrada em 1{,}5\\ \mathrm{m}. Para a declividade e rugosidade dadas, esse é exatamente o valor da profundidade de escoamento uniforme que corresponde à vazão calculada. Em termos práticos, o canal, sendo longo e com declividade 0{,}01, pode estabelecer escoamento uniforme com y_n=1{,}5\\ \mathrm{m} transportando Q\approx 11{,}86\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.

Passo 5

Conferência rápida (sensatez): valores fazem sentido dimensional e numérico:
  • Área 3{,}0\\ \mathrm{m}^2 e vazão 11{,}86\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s} correspondem a velocidade média V=Q/A\approx 3{,}95\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}, o que é plausível para canal com declividade 0{,}01 e rugosidade razoável (não absurdo).

Resposta

Q=11{,}86\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}
y_n=1{,}50\\ \mathrm{m}

Exercícios relacionados