Um reservatório pressurizado por um colchão de ar, cuja pressão do ar é P (pressão absoluta), a altura de água dentro do reservatório é h, está conectado em uma tubulação de diâmetro D. Essa tubulação tem um estreitamento para um diâmetro d, em um certo trecho da mesma. Considerando Patm a pressão atmosférica padrão e Pv a pressão de vapor do fluido (escala absoluta), determine a máxima pressão P para que o escoamento se processe sempre na fase líquida. Despreze as perdas.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz o seguinte: temos um reservatório com um “colchão” de ar à pressão absoluta , e a altura de água dentro dele é . Esse reservatório alimenta um cano de diâmetro que, em certo trecho, estrangula para diâmetro . A jusante (saída do cano de diâmetro ) a pressão é a atmosférica . Queremos achar a maior pressão que ainda garanta que, nesse estrangulamento, a pressão nunca caia abaixo da pressão de vapor (assim, nada de cavitação).
Conteúdo que vamos usar:
  • Equação de Bernoulli (conservação de energia em escoamentos)
  • Equação da continuidade (mesma vazão em qualquer seção)
  • Conceito de pressão de vapor e condição de não cavitação ( )

Passo 2

Primeiro, aplica Bernoulli entre a superfície livre do reservatório (seção P + rho g h + tfrac12,rho,0^2 ;=; Prm atm + tfrac12,rho,ve^2 ) e a saída do cano de diâmetro tfrac12,rho,ve^2 ;=; P - Prm atm + rho g h Longrightarrow ve = raiz2,(P - Prm atm + rho g h)rho (seção ), desprezando perdas:
Aqui é a velocidade de saída no diâmetro . Como a superfície do reservatório praticamente não se move, colocamos velocidade zero lá. Reorganizando para :

Passo 3

Agora a continuidade diz que a vazão é a mesma em qualquer seção:
Q = ve , Ae = v2, A2
onde
Ae = tfracpi4,D^2, A2 = tfracpi4,d^2, v2 = velocidade no estrangulamento
Logo
v2 = ve ,AeA2 = ve ,D^2d^2 Longrightarrow v2^2 = ve^2;l(Ddr)^!4

Passo 4

Agora aplicamos Bernoulli entre a superfície do reservatório e o ponto de estrangulamento (seção 2), de novo sem perdas:
P + rho g h = p2 + tfrac12,rho,v2^2
Substitui p2 ;=; P + rho g h ;-;tfrac12,rho,ve^2l(tfracDdr)^4 = P + rho g h ;-;(P - Prm atm + rho g h),l(tfracDdr)^4 da etapa anterior:

Passo 5

Para evitar cavitação, exigimos P + rho g h ;-;(P - Prm atm + rho g h),l(tfracDdr)^4 ;>=;Pv .
Então
P + rho g h - A,(P - Prm atm + rho g h);>=;Pv ;Longrightarrow; (1-A),(P + rho g h) + A,Prm atm;>=;Pv
Chama P + rho g h ;<=;A,Prm atm - PvA-1 ;Longrightarrow P ;<=;(D/d)^4,Prm atm ;-;Pv(D/d)^4 -1;-;rho g h . A desigualdade vira
Isolando

Resposta

A pressão máxima boxed Pmax = (D/d)^4,Prm atm ;-;Pv (D/d)^4 -1 ;-;rho,g,h (absoluta) que evita cavitação no estrangulamento é

Exercícios relacionados