Um importante fenômeno hidráulico em condutos forçados é o chamado golpe de ariete. Esse fenômeno ocorre quando a velocidade do escoamento se altera rapidamente, como o caso de um fechamento instantâneo de uma válvula. Ao fechar rapidamente, a válvula bloqueia parcialmente o fluxo, gerando um empacotamento das partículas de fluido e consequentemente, aumento de pressão. Considerando que esse aumento de pressão (De, depende da variação de velocidade ( De ), da massa específica do fluido, da viscosidade do fluido, do comprimento da tubulação, do tempo de manobra e da velocidade de propagação da onda de pressão dentro da tubulação, pede-se:
Mostre que para um mesmo fluido, o tempo de manobra entre um modelo e um protótipo devem ser sempre iguais, independente da escala do modelo.

Passo 1

Beleza, aqui o enunciado fala do famoso “golpe de aríete” em tubulações forçadas, que é quando você fecha a válvula num estalo e gera uma onda de pressão.
Conteúdo: dinâmica dos fluidos transitórios e semelhança de modelos.
O que vamos usar:
  1. Equação simplificada do golpe de aríete: ΔP = ρ a Δv
  2. Definição da velocidade de propagação da onda a
  3. Análise dimensional / número adimensional de tempo de manobra.

Passo 2

Primeiro, a gente lembra da equação de aumento de pressão na parada quase instantânea:
De
– ρ é a massa específica do fluido
– a é a velocidade de propagação da onda de pressão na tubulação
– Δv é a variação de velocidade do escoamento
Isso nos diz que o choque de pressão não depende do comprimento nem da viscosidade, mas só de ρ, a e Δv.

Passo 3

Para completar, precisamos da definição de a. Num fluido ligeiramente compressível:
a ;=;raizKrho
K é a “rigidez” equivalente (bulk modulus). Como no modelo e no protótipo é o MESMO fluido, ρ e K são iguais, logo
arm model = arm protótipoó

Passo 4

Agora, o que “tem a ver” o tempo de manobra tm com essa onda? A gente define o tempo que a onda leva para ir e voltar na tubulação de comprimento L:
trm onda ;=;La
Mas o que importa pro fenômeno do golpe é a razão entre o tempo de fechamento e esse tempo de ida-e-volta.

Passo 5

A ferramenta chave é formar o número adimensional que “governa” a semelhança do golpe de aríete:
T^* ;=;tmtrm onda;=;tm,aL
Para que o modelo e o protótipo se comportem igual (semelhança dinâmica), esse T^* TEM QUE SER O MESMO nos dois:
$$T^_{\rm model} ;=;T^_{\rm prot}
\quad\Longrightarrow\quad
\frac{t_{m,\rm model},a}{L_{\rm model}}
=\frac{t_{m,\rm prot},a}{L_{\rm prot}}.$$

Passo 6

Como vimos em

Passo 7

$$\frac{t_{m,\rm model}}{L_{\rm model}}
=\frac{t_{m,\rm prot}}{L_{\rm prot}}. tm,rm modelLrm model =tm,rm protLrm protôéãúíÃét_{m,\rm model} = t_{m,\rm prot}.$$
Ou seja, o próprio tempo de manobra, em segundos, tem de ser igual nos dois.

Resposta

Para o mesmo fluido (mesmo ρ e mesmo a) e a fim de manter o número adimensional
T^*=tm,aL
constantemente igual em modelo e protótipo, o tempo de manobra tm deve ser o mesmo nos dois, independentemente da escala geométrica.

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