Considere a série de lucros de 5 filiais sustentáveis. O que ocorre com a Média e com a Variância quando:
Subtrai-se um custo fixo de 20 mil de cada observação.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • A pergunta é: o que acontece com a Média e com a Variância quando se subtrai um custo fixo de 20 mil de cada observação da série de lucros de 5 filiais?
Informações dadas:
  • 5 observações (uma por filial).
  • De cada observação x_i é subtraído um custo fixo de 20{,}000.
  • Não foram fornecidos os valores individuais dos lucros; a pergunta é sobre o efeito geral dessa transformação em média e variância.

Passo 2

Definições e fórmulas importantes (explicadas devagarinho).
  • Se as observações originais forem \;x_1,x_2,x_3,x_4,x_5\;, a média aritmética (média simples) é
\bar{x}=\frac{1}{5}\sum_{i=1}^{5} x_i.
Explicação: \bar{x} é o número que representa o centro (o “valor típico”) dos 5 lucros; soma-se todos os x_i e divide-se por 5. Cada símbolo: \sum_{i=1}^{5} x_i é a soma de todos os x_i; o 1/5 é porque são 5 observações.
  • A variância (usarei a definição média dos quadrados das diferenças em relação à média; a mesma propriedade vale para a versão com divisor n-1) é
\sigma^2=\frac{1}{5}\sum_{i=1}^{5}(x_i-\bar{x})^2.
Explicação: cada termo (x_i-\bar{x})^2 mede o quadrado da distância do i-ésimo lucro ao centro \bar{x}. A variância é a média desses quadrados e mede a “dispersão” ou o espalhamento dos lucros ao redor da média. A unidade da variância é a unidade dos lucros ao quadrado (por exemplo, \text{(R\$)}^2).

Passo 3

Descrevendo a transformação e a média nova.
  • Defina a constante c=20{,}000. Defina as novas observações
y_i = x_i - c,\qquad i=1,\dots,5.
  • A média das novas observações é
\bar{y}=\frac{1}{5}\sum_{i=1}^{5} y_i.
Substituindo y_i=x_i-c obtemos:
\bar{y}=\frac{1}{5}\sum_{i=1}^{5}(x_i-c).
Como soma é distributiva,
\bar{y}=\frac{1}{5}\left(\sum_{i=1}^{5}x_i - \sum_{i=1}^{5}c\right).
Como c é a mesma constante para cada termo, \sum_{i=1}^{5}c = 5c. Portanto
\bar{y}=\frac{1}{5}\left(\sum_{i=1}^{5}x_i - 5c\right) =\frac{1}{5}\sum_{i=1}^{5}x_i - c =\bar{x}-c.
Interpretação simples: subtrair 20{,}000 de cada lucro desloca a média em 20{,}000 para baixo. Então a nova média é a antiga menos 20{,}000.

Passo 4

Mostrando que a variância não muda (álgebra direta e explicação intuitiva).
  • A variância das novas observações é
\frac{1}{5}\sum_{i=1}^{5}(y_i-\bar{y})^2.
Calcule a diferença dentro do quadrado:
y_i-\bar{y}=(x_i-c)-(\bar{x}-c)=x_i-\bar{x}.
Ou seja, ao subtrair a mesma constante c de cada observação, as diferenças de cada observação à média permanecem idênticas. Então os quadrados também são idênticos:
(y_i-\bar{y})^2=(x_i-\bar{x})^2\quad\text{para todo }i.
Portanto a soma dos quadrados e a média desses quadrados são iguais:
\frac{1}{5}\sum_{i=1}^{5}(y_i-\bar{y})^2=\frac{1}{5}\sum_{i=1}^{5}(x_i-\bar{x})^2=\sigma^2.
Conclusão algébrica: a variância permanece exatamente a mesma.
Intuição rápida e amigável: subtrair uma quantidade fixa “desloca” todo o conjunto para a esquerda no eixo dos números, sem esticar ou comprimir o conjunto; a distância entre pontos e a média não muda, portanto a dispersão (variância) não muda.
Observação: a mesma propriedade vale se em vez de dividir por 5 (variância populacional) usar a definição amostral com divisor 4 (i.e. 1/(n-1)\sum); o cancelamento da constante ocorre da mesma forma.

Passo 5

Exemplo numérico concreto (para fixar na cabeça).
  • Suponha cinco lucros (em reais): x_1=50{,}000, x_2=30{,}000, x_3=40{,}000, x_4=60{,}000, x_5=55{,}000.
  • Média original:
\bar{x}=\frac{50{,}000+30{,}000+40{,}000+60{,}000+55{,}000}{5}=\frac{235{,}000}{5}=47{,}000.
  • Subtraindo c=20{,}000 de cada observação obtemos y_i: 30{,}000,10{,}000,20{,}000,40{,}000,35{,}000. A média nova é
\bar{y}=47{,}000-20{,}000=27{,}000,
que bate com a média calculada dos y_i.
  • Cálculo rápido da variância (populacional) original: desvios x_i-\bar{x} são 3{,}000,\,-17{,}000,\,-7{,}000,\,13{,}000,\,8{,}000. Quadrados somam 580{,}000{,}000. Dividindo por 5 \sigma^2=116{,}000{,}000.
  • Nos y_i os desvios em relação a \bar{y} são exatamente os mesmos (porque a subtração de 20{,}000 cancela), logo a variância continua \;116{,}000{,}000.

Passo 6

Observações finais úteis para a prova (resumindo do jeito que cai na prova):
  • Subtrair (ou somar) uma constante a todas as observações desloca a média por essa constante: a nova média é a média antiga menos (ou mais) a constante.
  • A variância não é afetada por somar ou subtrair uma constante; ela só depende das distâncias relativas entre os valores e a média.
  • O desvio padrão (a raiz quadrada da variância) também permanece inalterado sob esse deslocamento.
  • Essas propriedades valem independentemente do número de observações; aqui usamos 5 só porque o enunciado falou em 5 filiais.

Resposta

A média fica reduzida em 20{,}000: \bar{y}=\bar{x}-20{,}000.
A variância permanece inalterada: \operatorname{Var}(y)=\operatorname{Var}(x).

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