Considere a série de lucros de 5 filiais sustentáveis. O que ocorre com a Média e com a Variância quando:
Subtrai-se um custo fixo de 20 mil de cada observação.
Subtrai-se um custo fixo de 20 mil de cada observação.
Passo 1
O que o enunciado pede:
- A pergunta é: o que acontece com a Média e com a Variância quando se subtrai um custo fixo de 20 mil de cada observação da série de lucros de 5 filiais?
Informações dadas:
- Há
observações (uma por filial). - De cada observação
é subtraído um custo fixo de . - Não foram fornecidos os valores individuais dos lucros; a pergunta é sobre o efeito geral dessa transformação em média e variância.
Passo 2
Definições e fórmulas importantes (explicadas devagarinho).
- Se as observações originais forem
, a média aritmética (média simples) é
Explicação:
é o número que representa o centro (o “valor típico”) dos
lucros; soma-se todos os
e divide-se por
. Cada símbolo:
é a soma de todos os
; o
é porque são
observações.
- A variância (usarei a definição média dos quadrados das diferenças em relação à média; a mesma propriedade vale para a versão com divisor
) é
Explicação: cada termo
mede o quadrado da distância do
-ésimo lucro ao centro
. A variância é a média desses quadrados e mede a “dispersão” ou o espalhamento dos lucros ao redor da média. A unidade da variância é a unidade dos lucros ao quadrado (por exemplo,
).
Passo 3
Descrevendo a transformação e a média nova.
- Defina a constante
. Defina as novas observações
- A média das novas observações é
Substituindo
obtemos:
Como soma é distributiva,
Como
é a mesma constante para cada termo,
. Portanto
Interpretação simples: subtrair
de cada lucro desloca a média em
para baixo. Então a nova média é a antiga menos
.
Passo 4
Mostrando que a variância não muda (álgebra direta e explicação intuitiva).
- A variância das novas observações é
Calcule a diferença dentro do quadrado:
Ou seja, ao subtrair a mesma constante
de cada observação, as diferenças de cada observação à média permanecem idênticas. Então os quadrados também são idênticos:
Portanto a soma dos quadrados e a média desses quadrados são iguais:
Conclusão algébrica: a variância permanece exatamente a mesma.
Intuição rápida e amigável: subtrair uma quantidade fixa “desloca” todo o conjunto para a esquerda no eixo dos números, sem esticar ou comprimir o conjunto; a distância entre pontos e a média não muda, portanto a dispersão (variância) não muda.
Observação: a mesma propriedade vale se em vez de dividir por
(variância populacional) usar a definição amostral com divisor
(i.e.
); o cancelamento da constante ocorre da mesma forma.
Passo 5
Exemplo numérico concreto (para fixar na cabeça).
- Suponha cinco lucros (em reais):
, , , , . - Média original:
- Subtraindo
de cada observação obtemos : . A média nova é
que bate com a média calculada dos
.
- Cálculo rápido da variância (populacional) original: desvios
são . Quadrados somam . Dividindo por dá . - Nos
os desvios em relação a são exatamente os mesmos (porque a subtração de cancela), logo a variância continua .
Passo 6
Observações finais úteis para a prova (resumindo do jeito que cai na prova):
- Subtrair (ou somar) uma constante a todas as observações desloca a média por essa constante: a nova média é a média antiga menos (ou mais) a constante.
- A variância não é afetada por somar ou subtrair uma constante; ela só depende das distâncias relativas entre os valores e a média.
- O desvio padrão (a raiz quadrada da variância) também permanece inalterado sob esse deslocamento.
- Essas propriedades valem independentemente do número de observações; aqui usamos
só porque o enunciado falou em 5 filiais.
Resposta
A média fica reduzida em
:
.
A variância permanece inalterada: .
A variância permanece inalterada: