A resistência de um certo condutor é
. Outro condutor do mesmo material e à mesma temperatura possui
do diâmetro e o dobro do comprimento. Encontre a resistência do segundo condutor.
Passo 1
Beleza, o enunciado fala de dois fios do mesmo material (mesma resistividade ρ) e mesma temperatura. O primeiro fio tem resistência R₁=15 Ω. O segundo fio tem diâmetro 1/3 do primeiro (d₂ = d₁/3) e comprimento dobro (L₂ = 2·L₁). A matéria envolvida é eletricidade: resistência de um condutor, fórmula R = ρ·L/A, e área de seção reta de um cilindro A = π(d/2)². Vamos usar tudo isso pra achar R₂.
Passo 2
Teoria da resistência:
Para um condutor uniforme
R = ρ·L / A
onde
• ρ é a resistividade (constante porque o material e a temperatura são os mesmos)
• L é o comprimento do fio
• A é a área da seção transversal
Para um condutor uniforme
R = ρ·L / A
onde
• ρ é a resistividade (constante porque o material e a temperatura são os mesmos)
• L é o comprimento do fio
• A é a área da seção transversal
Como ρ não muda, a variação de R vem só de L e A.
Passo 3
Área de um fio cilíndrico:
A = π·r² = π·(d/2)² = (π/4)·d²
Então, para os dois fios:
A₁ = (π/4)·d₁²
A₂ = (π/4)·d₂² = (π/4)·(d₁/3)² = (π/4)·(d₁²/9) = A₁/9
A = π·r² = π·(d/2)² = (π/4)·d²
Então, para os dois fios:
A₁ = (π/4)·d₁²
A₂ = (π/4)·d₂² = (π/4)·(d₁/3)² = (π/4)·(d₁²/9) = A₁/9
Passo 4
Relação entre R₂ e R₁:
R₂ = ρ·L₂/A₂ e R₁ = ρ·L₁/A₁
Dividindo as duas:
R₂/R₁ = (L₂/L₁)·(A₁/A₂)
R₂ = ρ·L₂/A₂ e R₁ = ρ·L₁/A₁
Dividindo as duas:
R₂/R₁ = (L₂/L₁)·(A₁/A₂)
Passo 5
Agora plugando valores:
L₂/L₁ = 2
A₁/A₂ = 9
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R₂/R₁ = 2·9 = 18
R₂ = 18·R₁ = 18·15 Ω = 270 Ω
L₂/L₁ = 2
A₁/A₂ = 9
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R₂/R₁ = 2·9 = 18
R₂ = 18·R₁ = 18·15 Ω = 270 Ω
Resposta
A resistência do segundo condutor é 270 Ω.