Um resistor de 20 Omega e um capacitor de 1 mu F estão ligados em paralelo. Essa combinação está em paralelo com a combinação em série de um resistor de 1 Omega e um indutor de 40 mu H. Os três ramos em paralelo são excitados por uma fonte de corrente senoidal cuja expressão é 20 cos (50.000 t-20^circ) A.
b) Referencie a tensão na fonte de corrente como uma elevação no sentido da corrente da fonte e determine a tensão fasorial.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um circuito com resistores, capacitores e indutores conectados de certo jeito, e uma fonte de corrente senoidal. A matéria envolvida aqui é Análise de Circuitos em Regime Permanente usando números complexos (fasores). Vamos precisar lembrar como calcular impedâncias de componentes (resistores, capacitores e indutores) e como combinar esses componentes em paralelo e série para encontrar a tensão fasorial na fonte.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as impedâncias de cada componente no circuito. As impedâncias são representações complexas da resistência e reatância dos componentes:
  • Resistor de 20 Ω: $ Z_R = 20,\Omega $
  • Capacitor de ZR = 20,Omega : 1,mu F
  • Resistor de 1 Ω: $ Z_{R’} = 1,\Omega $
  • Indutor de ZC = 1jomega C = 1j cdot 2pi cdot 50.000 cdot 1 times 10^-6 approx -j cdot 3,183,Omega : ZR' = 1,Omega
Aqui, $ j $ é a unidade imaginária e $ \omega = 2\pi f $ é a frequência angular da fonte.

Passo 3

Agora, vamos analisar as combinações de elementos no circuito:
  1. Paralelo entre resistor de 20 Ω e capacitores de 1,mu F:
    • Impedância total deste paralelo: ZRC = ( 1ZR + 1ZC )^-1 = ( 120 + 1-j3,183 )^-1 Calculando: 120 + 1-j3,183 = 0,05 - j0,314 Então: ZRC = 10,05 - j0,314 approx 3,11 + j19,72,Omega
  2. Série entre resistor de 1 Ω e indutor de 40,mu H:
    • Impedância total desta série: ZRL = ZR' + ZL = 1 + j12,566 approx 1 + j12,566,Omega

Passo 4

Agora, temos três ramos em paralelo:
  1. $ Z_{RC} \approx 3,11 + j19,72,\Omega $
  2. $ Z_{RL} \approx 1 + j12,566,\Omega $
  3. O terceiro ramo não foi especificado no enunciado, mas assumindo que são apenas esses dois combinados, vamos prosseguir com eles.
Calculamos a impedância equivalente desses dois ramos em paralelo:
ZRC approx 3,11 + j19,72,Omega
Calculando cada termo:
ZRL approx 1 + j12,566,Omega
1Zeq = 1ZRC + 1ZRL = 13,11 + j19,72 + 11 + j12,566
Somando:
13,11 + j19,72 approx 0,05 - j0,31
Então:
11 + j12,566 approx 0,08 - j0,99

Passo 5

Agora, sabemos que a fonte de corrente é $ I(t) = 20 \cos(50.000 t -20°) $ A. Vamos converter essa corrente para o domínio dos fasores:
I(t) = 20 cos(50.000 t -20°)
Para encontrar a tensão fasorial $ V $ na fonte, usamos a relação:
I = 20 ang<= -20°,A
Primeiro, convertemos $ Z_{eq} $ para forma polar:
V
V = I cdot Zeq = 20 ang<= -20° cdot (0,77 + j7,71)
Então:
Zeq
Multiplicando os fasores:
Zeq = raiz0,77^2 + 7,71^2 approx 7,75,Omega

Resposta

A tensão fasorial na fonte é aproximadamente $ 155 \angle 64,7^\circ $ volts.

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