(RESNICK 20163 13) Quais das expressões vetoriais a seguir estão corretas? O que está errado nas expressões incorretas?
Passo 1
O enunciado pergunta quais das expressões vetoriais listadas estão corretas e o que há de errado nas que estiverem incorretas. A expressão fornecida é:
.
Informações relevantes dadas (explicitando o que aparece no enunciado):
- Existem três vetores
. - A operação apresentada usa o produto escalar (ponto) entre pares de vetores e soma os resultados escalarmente.
Passo 2
O que significa cada símbolo — revisão didática do produto escalar:
- O produto escalar
entre dois vetores e é um número (um escalar). Duas formas equivalentes de interpretar/computar: - Geometricamente:
, onde é o ângulo entre e . - Componentes (em
): se e , então
- Geometricamente:
- Importante: o produto escalar é comutativo:
. - Resultado do produto escalar: é um escalar, não um vetor.
Passo 3
Análise do tipo de cada termo na expressão dada:
-
é um escalar. -
é um escalar. - A soma de dois escalares é uma operação válida (soma de números).
Portanto, do ponto de vista de tipos (escalar vs. vetor), a expressão
é bem formada e retorna um escalar.
Passo 4
Condições necessárias para que a expressão faça sentido e possíveis erros comuns:
- Todos os produtos escalares
e só existem se os vetores estiverem no mesmo espaço onde o produto escalar está definido (tipicamente todos em com mesmo ). Se, por exemplo, e , o produto escalar não está definido — nesse caso a expressão seria inválida. - Em física, além da dimensão matemática, deve-se checar unidades: o produto escalar tem unidades que são produto das unidades dos vetores. Só se pode somar escalares com as mesmas unidades. Ou seja, mesmo sendo “matematicamente” soma de escalares, pode ser fisicamente inconsistente se as unidades diferirem.
Passo 5
Propriedade útil que simplifica a expressão (fórmula e explicação):
- Pelo caráter distributivo e comutativo do produto escalar, pode-se reescrever
- Interpretação: em vez de somar dois escalares separados, é equivalente calcular primeiro o vetor
e depois fazer o produto escalar com .
Passo 6
Exemplo numérico concreto (para você ver como calcular na prova sem calculadora, com números simples):
- Escolha vetores em
: , , . - Calcular por componentes:
- Soma:
- Verificação da fatoração:
coincide — legal e prático na prova.
Passo 7
Resumo do raciocínio para usar na prova (receita prática):
- Verifique que os vetores estão no mesmo espaço (mesma dimensão).
- Cada
é escalar; somar escalares é permitido. - Se quiser simplificar, aplique
para reduzir cálculos. - Cuidado com unidades físicas: só some escalares com mesmas unidades.
Resposta
A expressão está correta; ela é um escalar e pode ser escrita como
.