(RESNICK 20163 13) Quais das expressões vetoriais a seguir estão corretas? O que está errado nas expressões incorretas?
\vec{A} \cdot(\vec{B} \times \vec{C})

Passo 1

O enunciado pede para avaliar se a expressão \vec{A}\cdot(\vec{B}\times\vec{C}) está correta e, se houver erro, explicar o que está errado. As informações dadas são apenas a própria expressão com três vetores \vec{A}, \vec{B} e \vec{C}. O pedido é: verificar validade da expressão e explicar seu significado e propriedades.

Passo 2

O que faz o produto vetorial \vec{B}\times\vec{C}.
  • O produto vetorial entre dois vetores \vec{B} e \vec{C} em \mathbb{R}^3 é um vetor perpendicular tanto a \vec{B} quanto a \vec{C}.
  • Em coordenadas cartesianas, se \vec{B}=(B_x,B_y,B_z) e \vec{C}=(C_x,C_y,C_z), então
\vec{B}\times\vec{C}=\bigl(B_y C_z - B_z C_y,\; B_z C_x - B_x C_z,\; B_x C_y - B_y C_x\bigr).
  • Observação de operação: o produto vetorial sempre produz um vetor (não um número).

Passo 3

O que faz o produto escalar \vec{A}\cdot\vec{D} quando o segundo argumento é um vetor \vec{D}.
  • O produto escalar entre dois vetores é um número (um escalar).
  • Em coordenadas, se \vec{A}=(A_x,A_y,A_z) e \vec{D}=(D_x,D_y,D_z), então
\vec{A}\cdot\vec{D}=A_x D_x + A_y D_y + A_z D_z.
  • Portanto, para que \vec{A}\cdot(\cdot) faça sentido, o argumento entre parênteses precisa ser um vetor — o que é o caso quando colocamos \vec{B}\times\vec{C}.

Passo 4

Verificação direta da validade sintática e operacional da expressão.
  • Primeiro faço a verificação: \vec{B}\times\vec{C} é um vetor; o produto escalar de \vec{A} com esse vetor é bem definido. Logo, a expressão \vec{A}\cdot(\vec{B}\times\vec{C}) é sintaticamente correta.
  • Nome da expressão: essa combinação recebe o nome de produto misto (ou produto escalar-triplo, ou produto triplo) e resulta em um escalar.

Passo 5

Fórmula em termos de determinante (como calcular em componentes).
  • Se \vec{A}=(A_x,A_y,A_z), \vec{B}=(B_x,B_y,B_z), \vec{C}=(C_x,C_y,C_z), então
\vec{A}\cdot(\vec{B}\times\vec{C})= \begin{vmatrix} A_x & A_y & A_z\\[4pt] B_x & B_y & B_z\\[4pt] C_x & C_y & C_z \end{vmatrix}.
  • Essa igualdade pode ser obtida expandindo o produto vetorial por coordenadas e depois fazendo o produto escalar, ou usando a notação de Levi-Civita. É uma forma prática para calcular sem erro.]

Passo 6

Interpretação geométrica (isso ajuda muito na prova).
  • Geometricamente, \vec{A}\cdot(\vec{B}\times\vec{C}) é o volume orientado do paralelepípedo gerado por \vec{A}, \vec{B} e \vec{C}.
  • O valor absoluto |\vec{A}\cdot(\vec{B}\times\vec{C})| é o volume; o sinal indica orientação (positivo ou negativo conforme a ordem cíclica dos vetores).

Passo 7

Propriedades importantes (úteis para manipular na prova).
  • Permutações cíclicas não mudam o valor:
\vec{A}\cdot(\vec{B}\times\vec{C})=\vec{B}\cdot(\vec{C}\times\vec{A})=\vec{C}\cdot(\vec{A}\times\vec{B}).
  • Trocar a ordem de dois vetores muda o sinal:
\vec{A}\cdot(\vec{C}\times\vec{B})=-\vec{A}\cdot(\vec{B}\times\vec{C}).
  • Linearidade (distributividade) em cada argumento:
\vec{A}\cdot\bigl((\vec{B}_1+\vec{B}_2)\times\vec{C}\bigr)=\vec{A}\cdot(\vec{B}_1\times\vec{C})+\vec{A}\cdot(\vec{B}_2\times\vec{C}),
e fatores escalares saem multiplicando o escalar final.
  • Se dois dos vetores forem paralelos (ou dois iguais), o produto misto vale zero (paralelepípedo de volume zero).

Passo 8

Exemplo numérico 1 (base canônica) para ver cálculo passo a passo sem calculadora.
  • Tome \vec{A}=(1,0,0), \vec{B}=(0,1,0), \vec{C}=(0,0,1).
  • Primeiro calcule \vec{B}\times\vec{C}:
\vec{B}\times\vec{C}=(1\cdot1-0\cdot0,\;0\cdot0-0\cdot1,\;0\cdot0-1\cdot0)=(1,0,0).
  • Depois \vec{A}\cdot(\vec{B}\times\vec{C})=(1,0,0)\cdot(1,0,0)=1.
  • Pelo determinante:
\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix}=1.

Passo 9

Exemplo numérico 2 (caso de vetores coplanares → resultado zero).
  • Seja \vec{B}=2\vec{A}. Então \vec{B}\times\vec{C}=2(\vec{A}\times\vec{C}).
  • Logo \vec{A}\cdot(\vec{B}\times\vec{C})=2\vec{A}\cdot(\vec{A}\times\vec{C}).
  • Mas \vec{A}\times\vec{C} é perpendicular a \vec{A}, então \vec{A}\cdot(\vec{A}\times\vec{C})=0. Portanto o produto misto é zero quando dois vetores são paralelos (ou, em geral, quando os três são coplanares).

Passo 10

Resumo didático final (como usar isso rápido na prova).
  • Regra prática: calcule \vec{B}\times\vec{C} (ou use o determinante direto) e faça o produto escalar com \vec{A}.
  • Lembre das propriedades: determinante 3×3, invariância por permutações cíclicas, troca de dois vetores muda sinal, zero se coplanares.
  • Conclusão lógica: a expressão é bem formada e é uma ferramenta muito comum (produto misto) com interpretação geométrica e fórmulas prontas para cálculo.

Resposta

Correta — \vec{A}\cdot(\vec{B}\times\vec{C}) é o produto misto (um escalar), igual ao determinante \begin{vmatrix}A_x&A_y&A_z\\[4pt]B_x&B_y&B_z\\[4pt]C_x&C_y&C_z\end{vmatrix} e representa o volume orientado do paralelepípedo gerado por \vec{A},\vec{B},\vec{C}.]

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