(RESNICK 20163 13) Quais das expressões vetoriais a seguir estão corretas? O que está errado nas expressões incorretas? \vec{A} \cdot(\vec{B} \times \vec{C})
Passo 1
O enunciado pede para avaliar se a expressão \vec{A}\cdot(\vec{B}\times\vec{C}) está correta e, se houver erro, explicar o que está errado. As informações dadas são apenas a própria expressão com três vetores \vec{A}, \vec{B} e \vec{C}. O pedido é: verificar validade da expressão e explicar seu significado e propriedades.
Passo 2
O que faz o produto vetorial \vec{B}\times\vec{C}.
O produto vetorial entre dois vetores \vec{B} e \vec{C} em \mathbb{R}^3 é um vetor perpendicular tanto a \vec{B} quanto a \vec{C}.
Em coordenadas cartesianas, se \vec{B}=(B_x,B_y,B_z) e \vec{C}=(C_x,C_y,C_z), então
Observação de operação: o produto vetorial sempre produz um vetor (não um número).
Passo 3
O que faz o produto escalar \vec{A}\cdot\vec{D} quando o segundo argumento é um vetor \vec{D}.
O produto escalar entre dois vetores é um número (um escalar).
Em coordenadas, se \vec{A}=(A_x,A_y,A_z) e \vec{D}=(D_x,D_y,D_z), então
\vec{A}\cdot\vec{D}=A_x D_x + A_y D_y + A_z D_z.
Portanto, para que \vec{A}\cdot(\cdot) faça sentido, o argumento entre parênteses precisa ser um vetor — o que é o caso quando colocamos \vec{B}\times\vec{C}.
Passo 4
Verificação direta da validade sintática e operacional da expressão.
Primeiro faço a verificação: \vec{B}\times\vec{C} é um vetor; o produto escalar de \vec{A} com esse vetor é bem definido. Logo, a expressão \vec{A}\cdot(\vec{B}\times\vec{C}) é sintaticamente correta.
Nome da expressão: essa combinação recebe o nome de produto misto (ou produto escalar-triplo, ou produto triplo) e resulta em um escalar.
Passo 5
Fórmula em termos de determinante (como calcular em componentes).
Se \vec{A}=(A_x,A_y,A_z), \vec{B}=(B_x,B_y,B_z), \vec{C}=(C_x,C_y,C_z), então
Essa igualdade pode ser obtida expandindo o produto vetorial por coordenadas e depois fazendo o produto escalar, ou usando a notação de Levi-Civita. É uma forma prática para calcular sem erro.]
Passo 6
Interpretação geométrica (isso ajuda muito na prova).
Geometricamente, \vec{A}\cdot(\vec{B}\times\vec{C}) é o volume orientado do paralelepípedo gerado por \vec{A}, \vec{B} e \vec{C}.
O valor absoluto |\vec{A}\cdot(\vec{B}\times\vec{C})| é o volume; o sinal indica orientação (positivo ou negativo conforme a ordem cíclica dos vetores).
Passo 7
Propriedades importantes (úteis para manipular na prova).
Exemplo numérico 2 (caso de vetores coplanares → resultado zero).
Seja \vec{B}=2\vec{A}. Então \vec{B}\times\vec{C}=2(\vec{A}\times\vec{C}).
Logo \vec{A}\cdot(\vec{B}\times\vec{C})=2\vec{A}\cdot(\vec{A}\times\vec{C}).
Mas \vec{A}\times\vec{C} é perpendicular a \vec{A}, então \vec{A}\cdot(\vec{A}\times\vec{C})=0. Portanto o produto misto é zero quando dois vetores são paralelos (ou, em geral, quando os três são coplanares).
Passo 10
Resumo didático final (como usar isso rápido na prova).
Regra prática: calcule \vec{B}\times\vec{C} (ou use o determinante direto) e faça o produto escalar com \vec{A}.
Lembre das propriedades: determinante 3×3, invariância por permutações cíclicas, troca de dois vetores muda sinal, zero se coplanares.
Conclusão lógica: a expressão é bem formada e é uma ferramenta muito comum (produto misto) com interpretação geométrica e fórmulas prontas para cálculo.
Resposta
Correta — \vec{A}\cdot(\vec{B}\times\vec{C}) é o produto misto (um escalar), igual ao determinante \begin{vmatrix}A_x&A_y&A_z\\[4pt]B_x&B_y&B_z\\[4pt]C_x&C_y&C_z\end{vmatrix} e representa o volume orientado do paralelepípedo gerado por \vec{A},\vec{B},\vec{C}.]