(RESNICK 20163 13) Quais das expressões vetoriais a seguir estão corretas? O que está errado nas expressões incorretas?
5+\vec{A}

Passo 1

O enunciado apresenta a expressão \,5+\vec{A}\, e pede para dizer se ela está correta e, se não estiver, explicar o que está errado.
Informações dadas: um número real (o escalar) 5 e um vetor \vec{A} (sem especificar dimensão nem componentes).

Passo 2

O que é permitido operar entre escalares e vetores? Vou explicar passo a passo, sem pular etapas.
  • Um escalar é um número real, por exemplo 5.
  • Um vetor é um objeto com magnitude e direção; em coordenadas ele tem componentes, por exemplo em \mathbb{R}^3 um vetor qualquer pode ser escrito como \vec{A}=(A_x,A_y,A_z). Usei esse exemplo para ficar concreto.
Regras básicas (definições importantes):
  • A soma de vetores está definida somente entre vetores do mesmo espaço (mesma dimensão). Se \vec{A}=(A_x,A_y,A_z) e \vec{B}=(B_x,B_y,B_z), então
\vec{A}+\vec{B}=(A_x+B_x,\;A_y+B_y,\;A_z+B_z).
  • A multiplicação de um vetor por um escalar k está definida: se \vec{A}=(A_x,A_y,A_z), então
k\vec{A}=(kA_x,\;kA_y,\;kA_z).
Note que em ambos os casos os operandos devem ser do tipo apropriado: soma precisa de dois vetores; multiplicação escalar precisa de um escalar e um vetor (nesse caso o resultado é um vetor).

Passo 3

Aplicando isso a \,5+\vec{A}\,:
  • O termo 5 é um escalar.
  • O termo \vec{A} é um vetor.
A operação escrita é uma “soma”, mas uma soma só é definida entre dois vetores. Não existe, na álgebra vetorial padrão, uma regra que permita somar diretamente um escalar com um vetor (isto é, a expressão \, \text{escalar} + \text{vetor}\, não é definida). Portanto, tal expressão é inválida/errada como está escrita.

Passo 4

Como consertar ou dar sentido à ideia (formas válidas que talvez o autor quisesse):
  • Se a intenção foi multiplicar o vetor por 5, a forma correta é escrever 5\vec{A}. Isso é um produto escalar por vetor e é válido; o resultado é um vetor.
  • Se a intenção foi “somar 5” a cada componente de \vec{A}, é preciso converter o escalar 5 em um vetor de mesma dimensão, por exemplo em \mathbb{R}^3 escrever \vec{A}+(5,5,5). Assim a soma de vetores é bem definida.
  • Se a intenção foi adicionar um vetor cujo componente x vale 5, então escrever algo como \vec{A}+5\hat{\imath} (onde \hat{\imath} é o versor da direção x) é correto — aí 5\hat{\imath} é um vetor.
  • Em resumo: sempre transformar ou interpretar 5 como um vetor (ou usar multiplicação escalar) para a operação ficar bem definida.

Passo 5

Exemplo numérico para fixar (muito prático): suponha \vec{A}=(2,-1,3) em \mathbb{R}^3.
  • A expressão 5+\vec{A} continua sem sentido.
  • 5\vec{A}=(10,-5,15) é válida.
  • E \vec{A}+(5,5,5)=(7,4,8) é válida.
  • E \vec{A}+5\hat{\imath}=(7,-1,3) é válida.

Resposta

Incorreta — não se pode somar um escalar com um vetor; \,5+\vec{A}\, é uma expressão inválida. Correções possíveis: 5\vec{A} (se a intenção era multiplicação escalar), ou \vec{A}+(5,5,5) / \vec{A}+5\hat{\imath} (se a intenção era transformar 5 em um vetor compatível).

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