(RESNICK 20163 13) Quais das expressões vetoriais a seguir estão corretas? O que está errado nas expressões incorretas?
Passo 1
O enunciado apresenta a expressão
e pede para dizer se ela está correta e, se não estiver, explicar o que está errado.
Informações dadas: um número real (o escalar) e um vetor
(sem especificar dimensão nem componentes).
Informações dadas: um número real (o escalar)
Passo 2
O que é permitido operar entre escalares e vetores? Vou explicar passo a passo, sem pular etapas.
- Um escalar é um número real, por exemplo
. - Um vetor é um objeto com magnitude e direção; em coordenadas ele tem componentes, por exemplo em
um vetor qualquer pode ser escrito como . Usei esse exemplo para ficar concreto.
Regras básicas (definições importantes):
- A soma de vetores está definida somente entre vetores do mesmo espaço (mesma dimensão). Se
e , então
- A multiplicação de um vetor por um escalar
está definida: se , então
Note que em ambos os casos os operandos devem ser do tipo apropriado: soma precisa de dois vetores; multiplicação escalar precisa de um escalar e um vetor (nesse caso o resultado é um vetor).
Passo 3
Aplicando isso a
:
- O termo
é um escalar. - O termo
é um vetor.
A operação escrita é uma “soma”, mas uma soma só é definida entre dois vetores. Não existe, na álgebra vetorial padrão, uma regra que permita somar diretamente um escalar com um vetor (isto é, a expressão
não é definida). Portanto, tal expressão é inválida/errada como está escrita.
Passo 4
Como consertar ou dar sentido à ideia (formas válidas que talvez o autor quisesse):
- Se a intenção foi multiplicar o vetor por
, a forma correta é escrever . Isso é um produto escalar por vetor e é válido; o resultado é um vetor. - Se a intenção foi “somar 5” a cada componente de
, é preciso converter o escalar em um vetor de mesma dimensão, por exemplo em escrever . Assim a soma de vetores é bem definida. - Se a intenção foi adicionar um vetor cujo componente
vale , então escrever algo como (onde é o versor da direção ) é correto — aí é um vetor. - Em resumo: sempre transformar ou interpretar
como um vetor (ou usar multiplicação escalar) para a operação ficar bem definida.
Passo 5
Exemplo numérico para fixar (muito prático): suponha
em
.
- A expressão
continua sem sentido. - Já
é válida. - E
é válida. - E
é válida.
Resposta
Incorreta — não se pode somar um escalar com um vetor;
é uma expressão inválida. Correções possíveis:
(se a intenção era multiplicação escalar), ou
/
(se a intenção era transformar
em um vetor compatível).