Resolva para
:
Passo 1
O enunciado nos dá a equação
que é uma EDO de segunda ordem em
, tratando
como parâmetro. Para resolver, vamos:
- encontrar a solução homogênea associada,
- obter uma solução particular,
- somar as duas para obter a solução geral.
Passo 2
A equação homogênea é
A equação característica é
ou seja, raiz dupla
. Logo a solução homogênea é
onde
e
são funções arbitrárias de
.
Passo 3
Para encontrar uma solução particular
da forma
notamos que o termo forçante
coincide com a raiz de multiplicidade 2, então multiplicamos por
. Calculando:
Substituindo em
obtemos
e isso deve ser igual a
. Logo
, de onde
Portanto
Passo 4
A solução geral é
com
e
funçõess arbitrárias de
.
Resposta
onde
e
são funções arbitrárias de
.