Resolva para u=u(x, y) :
u_{y y}+10 u_{y}+25 u=e^{-5 y}

Passo 1

O enunciado nos dá a equação
u_{yy} + 10\,u_{y} + 25\,u = e^{-5y},
que é uma EDO de segunda ordem em y, tratando x como parâmetro. Para resolver, vamos:
  1. encontrar a solução homogênea associada,
  2. obter uma solução particular,
  3. somar as duas para obter a solução geral.

Passo 2

A equação homogênea é
u_{yy} + 10\,u_{y} + 25\,u = 0.
A equação característica é
r^2 + 10r + 25 = 0 \quad\Longrightarrow\quad (r + 5)^2 = 0,
ou seja, raiz dupla r = -5. Logo a solução homogênea é
u_h(x,y) = \biglA(x) + B(x)\,y\bigr\;e^{-5y},
onde A(x) e B(x) são funções arbitrárias de x.

Passo 3

Para encontrar uma solução particular u_p da forma
u_p(x,y) = C(x)\,y^2\,e^{-5y},
notamos que o termo forçante e^{-5y} coincide com a raiz de multiplicidade 2, então multiplicamos por y^2. Calculando:
u_{p,y} = C\,e^{-5y}(2y - 5y^2),\quad u_{p,yy} = C\,e^{-5y}(2 - 20y + 25y^2).
Substituindo em u_{yy}+10u_y+25u obtemos
C\,e^{-5y}\bigl(2 - 20y + 25y^2 + 20y - 50y^2 + 25y^2\bigr) = 2C\,e^{-5y}
e isso deve ser igual a e^{-5y}. Logo 2C = 1, de onde
C(x) = \tfrac12.
Portanto
u_p(x,y) = \tfrac12\,y^2\,e^{-5y}.

Passo 4

A solução geral é
u(x,y) = u_h(x,y) + u_p(x,y) = \biglA(x) + B(x)\,y + \tfrac12\,y^2\bigr\;e^{-5y},
com A(x) e B(x) funçõess arbitrárias de x.

Resposta

u(x,y) = \biglA(x) + B(x)\,y + \tfrac12\,y^2\bigr\;e^{-5y},
onde A(x) e B(x) são funções arbitrárias de x.

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