Resolva para u=u(x, y) :
u_{y y}=4 x u_{y}

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação parcial
u_{yy} \;=\; 4x\,u_{y},
onde u=u(x,y). Note que só aparecem derivadas em relação a y, então podemos enxergar essa equação como um edo em y, tratando x como parâmetro. Vamos:
  1. definir v(x,y)=u_{y}(x,y);
  2. resolver a edo em y para v;
  3. integrar em y para obter u.

Passo 2

Definindo v(x,y)=u_{y}(x,y), temos
v_{y}(x,y) \;=\; u_{yy}(x,y)
e a equação original vira
v_{y} \;=\; 4x\,v.
Isso é uma edo de primeira ordem em y, com solução-padrão exponencial.

Passo 3

Para resolver
\frac{\partial v}{\partial y} \;=\; 4x\,v,
separamos variáveis em y:
\frac{1}{v}\,\frac{\partial v}{\partial y} \;=\; 4x \quad\Longrightarrow\quad \ln|v| \;=\; 4x\,y + C_1(x).
Logo
v(x,y) \;=\; A(x)\,e^{4x\,y},
onde A(x)=e^{C_1(x)} é uma função arbitrária de x.

Passo 4

Como v=u_{y}, integramos agora em relação a y:
u_{y}(x,y) \;=\; A(x)\,e^{4x\,y} \quad\Longrightarrow\quad u(x,y) \;=\; \int A(x)\,e^{4x\,y}\,dy \;+\; B(x).
Fazendo a integral,
u(x,y) =\frac{A(x)}{4x}\,e^{4x\,y} + B(x),
onde B(x) é outra função arbitrária de x.

Passo 5

Podemos reescrever o quociente \tfrac{A(x)}{4x} como uma nova função arbitrária F(x). Também renomeamos B(x) por G(x). Assim, a solução geral fica
u(x,y) \;=\; F(x)\,e^{4x\,y} \;+\; G(x),
com F e G funções arbitrárias de x.

Resposta

A solução geral da equação u_{yy}=4x\,u_{y} é
\boxed{u(x,y)=F(x)\,e^{4x\,y}+G(x),}
onde F e G são funções arbitrárias de x.

Exercícios relacionados