Resolva:
100001000100/1000111
Transformar o resultado para Octal e Decimal
100001000100/1000111
Transformar o resultado para Octal e Decimal
Passo 1
O enunciado dá a divisão entre dois números escritos em binário e pede que o “resultado” seja transformado para octal e decimal. Os dados são:
- Numerador:
. - Denominador:
.
O que é pedido:
- Encontrar o resultado da divisão
e apresentar esse resultado em base octal e em base decimal.
Observação: como ambos os números estão em binário, primeiro vou interpretar esses binários como inteiros (converter para decimal) para fazer a divisão inteira e obter quociente e resto; em seguida mostro como converter o quociente (e, se for o caso, a parte fracionária) para octal e decimal.
Passo 2
Converter os números binários para decimal (isso facilita a divisão e também me dá um valor exato para trabalhos seguintes).
Como converter binário para decimal: cada bit vale
onde
é a posição (contando do zero na direita). Soma-se os
correspondentes aos bits iguais a 1.
Converter o numerador
:
- Esse binário tem 12 dígitos; marcando os bits de
até , os 1s estão em , e . - Logo
Converter o denominador
:
- Esse binário tem 7 dígitos; os 1s estão em
. - Logo
Portanto a divisão em decimal é
.
Passo 3
Fazer a divisão inteira
para obter quociente e resto:
-
. -
(que já passa de ), então o quociente inteiro é . - Resto
.
Então em forma inteira:
ou seja, o quociente inteiro é
e o resto é
. Em outras palavras,
Passo 4
Converter o quociente inteiro para binário (para relacionar com o enunciado original). Método: dividir sucessivamente por 2 ou reconhecer potências de 2.
-
em binário é
Também podemos observar que a divisão binária direta daria quociente
e resto
(onde
).
Passo 5
Converter o quociente para octal. Há duas formas práticas: converter do decimal para octal por divisões por 8, ou agrupar o binário em trios (pois
).
Usando agrupamento do binário do quociente
:
- Agrupa-se em trios a partir da direita:
. -
e . - Portanto o quociente inteiro
corresponde a .
Se considerarmos o resultado completo
, a parte inteira em octal é
. A parte fracionária
pode ser convertida em dígitos octais multiplicando-se sucessivamente por 8 (método mostrado no Passo 7).
Passo 6
Converter o resultado para decimal (valor numérico exato e aproximação):
- Valor exato em forma racional:
. - Valor decimal aproximado: calcular
. A fracção . Então
(uso a vírgula como separador decimal, conforme notação em português.)
Passo 7
Converter a parte fracionária
para octal (obtendo assim o resultado octal com fração). Método: multiplicar a fração por 8; a parte inteira do produto é o próximo dígito octal; repetir com a parte fracionária remanescente (trabalha-se com restos exatos para evitar erros de arredondamento).
Fazendo em termos de restos r/w
:
-
→ dígito octal 6, resto . -
→ dígito 3, resto . -
→ dígito 3, resto . -
→ dígito 0, resto . -
→ dígito 2, resto . -
→ dígito 5, resto . -
→ dígito 5, resto . -
→ dígito 0, resto . -
→ dígito 4, resto . -
→ dígito 4, resto . -
→ dígito 0, resto . -
→ dígito 3, resto . -
→ dígito 4, resto . -
→ dígito 6, resto . -
→ dígito 6, resto . -
→ dígito 0, resto . -
→ dígito 5, resto . -
→ dígito 3, resto . -
→ dígito 2, resto . -
→ dígito 1, resto . -
→ dígito 1, resto . -
→ dígito 0, resto . -
→ dígito 0, resto . -
→ dígito 7, resto . -
→ dígito 1, resto . -
→ dígito 5, resto .
- E assim por diante; a sequência de restos eventualmente se repetirá (pois só há 71 possíveis restos), então a expansão octal é periódica.
Juntando os dígitos obtidos (suficientes para uma boa aproximação): a parte fracionária em octal começa com
(só apresento aqui os primeiros dígitos; a expansão é periódica e infinita).
Portanto o resultado completo em base 8, aproximado, é
Passo 8
Resumo didático e interpretação final:
- Interpretei os binários como inteiros, converti para decimal, realizei a divisão exata em inteiros, obtendo quociente
e resto . - Converti o quociente para binário (
) e para octal ( ). - O valor numérico exato é
. Em decimal isso vale aproximadamente . - Em octal, a parte inteira é
e a parte fracionária obtida pelo algoritmo de multiplicação por 8 começa .
Resposta
Octal:
Decimal:
Decimal: