Resolva:
100001000100/1000111
Transformar o resultado para Octal e Decimal

Passo 1

O enunciado dá a divisão entre dois números escritos em binário e pede que o “resultado” seja transformado para octal e decimal. Os dados são:
  • Numerador: \,100001000100_2.
  • Denominador: \,1000111_2.
O que é pedido:
  • Encontrar o resultado da divisão \dfrac{100001000100_2}{1000111_2} e apresentar esse resultado em base octal e em base decimal.
Observação: como ambos os números estão em binário, primeiro vou interpretar esses binários como inteiros (converter para decimal) para fazer a divisão inteira e obter quociente e resto; em seguida mostro como converter o quociente (e, se for o caso, a parte fracionária) para octal e decimal.

Passo 2

Converter os números binários para decimal (isso facilita a divisão e também me dá um valor exato para trabalhos seguintes).
Como converter binário para decimal: cada bit vale 2^k onde k é a posição (contando do zero na direita). Soma-se os 2^k correspondentes aos bits iguais a 1.
Converter o numerador \,100001000100_2:
  • Esse binário tem 12 dígitos; marcando os bits de 2^{11} até 2^0, os 1s estão em 2^{11}, 2^{6} e 2^{2}.
  • Logo 100001000100_2 = 2^{11}+2^{6}+2^{2} = 2048 + 64 + 4 = 2116.
Converter o denominador \,1000111_2:
  • Esse binário tem 7 dígitos; os 1s estão em 2^{6},2^{2},2^{1},2^{0}.
  • Logo 1000111_2 = 2^{6}+2^{2}+2^{1}+2^{0} = 64 + 4 + 2 + 1 = 71.
Portanto a divisão em decimal é \dfrac{2116}{71}.

Passo 3

Fazer a divisão inteira 2116 \div 71 para obter quociente e resto:
  • 71 \times 29 = 2059.
  • 71 \times 30 = 2130 (que já passa de 2116), então o quociente inteiro é 29.
  • Resto =2116-2059=57.
Então em forma inteira:
2116 = 71\cdot 29 + 57,
ou seja, o quociente inteiro é 29 e o resto é 57. Em outras palavras,
\frac{2116}{71} = 29 + \frac{57}{71}.

Passo 4

Converter o quociente inteiro para binário (para relacionar com o enunciado original). Método: dividir sucessivamente por 2 ou reconhecer potências de 2.
  • 29_{10} em binário é 29 = 16+8+4+1 = 2^{4}+2^{3}+2^{2}+2^{0} \Rightarrow 29_{10} = 11101_2.
Também podemos observar que a divisão binária direta daria quociente \,11101_2 e resto \,111001_2 (onde 111001_2 = 57_{10}).

Passo 5

Converter o quociente para octal. Há duas formas práticas: converter do decimal para octal por divisões por 8, ou agrupar o binário em trios (pois 2^3=8).
Usando agrupamento do binário do quociente 11101_2:
  • Agrupa-se em trios a partir da direita: (011)(101)_2.
  • 011_2 = 3_8 e 101_2 = 5_8.
  • Portanto o quociente inteiro 11101_2 corresponde a 35_8.
Se considerarmos o resultado completo 29+\dfrac{57}{71}, a parte inteira em octal é 35_8. A parte fracionária \dfrac{57}{71} pode ser convertida em dígitos octais multiplicando-se sucessivamente por 8 (método mostrado no Passo 7).

Passo 6

Converter o resultado para decimal (valor numérico exato e aproximação):
  • Valor exato em forma racional: \dfrac{2116}{71}.
  • Valor decimal aproximado: calcular 29+\dfrac{57}{71}. A fracção \dfrac{57}{71}\approx 0{,}8028169014084507. Então
\frac{2116}{71} \approx 29{,}802816901408\ldots
(uso a vírgula como separador decimal, conforme notação em português.)

Passo 7

Converter a parte fracionária \dfrac{57}{71} para octal (obtendo assim o resultado octal com fração). Método: multiplicar a fração por 8; a parte inteira do produto é o próximo dígito octal; repetir com a parte fracionária remanescente (trabalha-se com restos exatos para evitar erros de arredondamento).
Fazendo em termos de restos r/w r_i/71:
  1. 57\cdot 8 = 456 = 6\cdot71 + 30 → dígito octal 6, resto 30/71.
  2. 30\cdot 8 = 240 = 3\cdot71 + 27 → dígito 3, resto 27/71.
  3. 27\cdot 8 = 216 = 3\cdot71 + 3 → dígito 3, resto 3/71.
  4. 3\cdot 8 = 24 = 0\cdot71 + 24 → dígito 0, resto 24/71.
  5. 24\cdot 8 = 192 = 2\cdot71 + 50 → dígito 2, resto 50/71.
  6. 50\cdot 8 = 400 = 5\cdot71 + 45 → dígito 5, resto 45/71.
  7. 45\cdot 8 = 360 = 5\cdot71 + 5 → dígito 5, resto 5/71.
  8. 5\cdot 8 = 40 = 0\cdot71 + 40 → dígito 0, resto 40/71.
  9. 40\cdot 8 = 320 = 4\cdot71 + 36 → dígito 4, resto 36/71.
  10. 36\cdot 8 = 288 = 4\cdot71 + 4 → dígito 4, resto 4/71.
  11. 4\cdot 8 = 32 = 0\cdot71 + 32 → dígito 0, resto 32/71.
  12. 32\cdot 8 = 256 = 3\cdot71 + 43 → dígito 3, resto 43/71.
  13. 43\cdot 8 = 344 = 4\cdot71 + 60 → dígito 4, resto 60/71.
  14. 60\cdot 8 = 480 = 6\cdot71 + 54 → dígito 6, resto 54/71.
  15. 54\cdot 8 = 432 = 6\cdot71 + 6 → dígito 6, resto 6/71.
  16. 6\cdot 8 = 48 = 0\cdot71 + 48 → dígito 0, resto 48/71.
  17. 48\cdot 8 = 384 = 5\cdot71 + 29 → dígito 5, resto 29/71.
  18. 29\cdot 8 = 232 = 3\cdot71 + 19 → dígito 3, resto 19/71.
  19. 19\cdot 8 = 152 = 2\cdot71 + 10 → dígito 2, resto 10/71.
  20. 10\cdot 8 = 80 = 1\cdot71 + 9 → dígito 1, resto 9/71.
  21. 9\cdot 8 = 72 = 1\cdot71 + 1 → dígito 1, resto 1/71.
  22. 1\cdot 8 = 8 = 0\cdot71 + 8 → dígito 0, resto 8/71.
  23. 8\cdot 8 = 64 = 0\cdot71 + 64 → dígito 0, resto 64/71.
  24. 64\cdot 8 = 512 = 7\cdot71 + 15 → dígito 7, resto 15/71.
  25. 15\cdot 8 = 120 = 1\cdot71 + 49 → dígito 1, resto 49/71.
  26. 49\cdot 8 = 392 = 5\cdot71 + 37 → dígito 5, resto 37/71.
  • E assim por diante; a sequência de restos eventualmente se repetirá (pois só há 71 possíveis restos), então a expansão octal é periódica.
Juntando os dígitos obtidos (suficientes para uma boa aproximação): a parte fracionária em octal começa com
0,63302550440346605321\ldots_8
(só apresento aqui os primeiros dígitos; a expansão é periódica e infinita).
Portanto o resultado completo em base 8, aproximado, é
35{,}633025504403466\ldots_8.

Passo 8

Resumo didático e interpretação final:
  • Interpretei os binários como inteiros, converti para decimal, realizei a divisão exata em inteiros, obtendo quociente 29 e resto 57.
  • Converti o quociente para binário ( 11101_2) e para octal ( 35_8).
  • O valor numérico exato é \dfrac{2116}{71}. Em decimal isso vale aproximadamente 29{,}802816901408\ldots.
  • Em octal, a parte inteira é 35_8 e a parte fracionária obtida pelo algoritmo de multiplicação por 8 começa ,633025504403\ldots_8.

Resposta

Octal: 35{,}633025504403466\ldots_8
Decimal: \dfrac{2116}{71} \approx 29{,}802816901408\ldots_{10}

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