Exercício 12. Determine a inversa das seguintes funções bijetoras, especificando domínio e contradomínio adequados:
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
e pede a inversa, especificando domínio e contradomínio adequados.
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
- A regra da função é
.
O que é pedido: - Determinar
(a função inversa) e indicar domínio e contradomínio apropriados.
Passo 2
Decidir domínio e contradomínio plausíveis. Uma escolha natural e suficiente é tomar domínio e contradomínio como os números reais:
Agora vou justificar que, com esses conjuntos,
é bijetora (injectiva e sobrejetiva).
Passo 3
Provar injetividade (um para um). Seja
tais que
. Então
Subtraindo
de ambos os lados e dividindo por
obtemos
. Logo
é injetiva.
Passo 4
Provar sobrejetividade (sobre). Dado qualquer
, resolver a equação
para
:
Isolando
(mostro isso passo a passo no próximo passo) encontraremos um
que atende a igualdade. Assim todo
tem um antecedente, logo
é sobrejetiva. Portanto
é bijetora quando vista como função de
em
.
Passo 5
Método prático para encontrar a inversa: escrever
, trocar
e
(ou resolver diretamente por
) e isolar a nova variável independente. Vou resolver passo a passo.
Passo 6
Começo por escrever
Isolando
:
Agora troco o papel das letras para escrever a função inversa com a variável usual de entrada
. Assim a inversa é
Passo 7
Verificação rápida (composição) para confirmar que é realmente inversa:
As duas composições retornam
, logo a fórmula encontrada é correta.
Passo 8
Resumo final sobre domínio e contradomínio: como
é bijetora, a inversa tem domínio
e contradomínio
: