Exercício 12. Determine a inversa das seguintes funções bijetoras, especificando domínio e contradomínio adequados:
f(x)=5-2 x

Passo 1

O enunciado dá a função f definida por f(x)=5-2x e pede a inversa, especificando domínio e contradomínio adequados.
Informações fornecidas:
  • A regra da função é f(x)=5-2x.
    O que é pedido:
  • Determinar f^{-1} (a função inversa) e indicar domínio e contradomínio apropriados.

Passo 2

Decidir domínio e contradomínio plausíveis. Uma escolha natural e suficiente é tomar domínio e contradomínio como os números reais:
f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\qquad f(x)=5-2x.
Agora vou justificar que, com esses conjuntos, f é bijetora (injectiva e sobrejetiva).

Passo 3

Provar injetividade (um para um). Seja a,b\in\mathbb{R} tais que f(a)=f(b). Então
5-2a=5-2b.
Subtraindo 5 de ambos os lados e dividindo por -2 obtemos a=b. Logo f é injetiva.

Passo 4

Provar sobrejetividade (sobre). Dado qualquer y\in\mathbb{R}, resolver a equação y=f(x) para x:
y=5-2x.
Isolando x (mostro isso passo a passo no próximo passo) encontraremos um x\in\mathbb{R} que atende a igualdade. Assim todo y tem um antecedente, logo f é sobrejetiva. Portanto f é bijetora quando vista como função de \mathbb{R} em \mathbb{R}.

Passo 5

Método prático para encontrar a inversa: escrever y=f(x), trocar x e y (ou resolver diretamente por x) e isolar a nova variável independente. Vou resolver passo a passo.

Passo 6

Começo por escrever
y=5-2x.
Isolando x:
y-5=-2x,
x=\frac{5-y}{2}.
Agora troco o papel das letras para escrever a função inversa com a variável usual de entrada x. Assim a inversa é
f^{-1}(x)=\frac{5-x}{2}.

Passo 7

Verificação rápida (composição) para confirmar que é realmente inversa:
f\bigl(f^{-1}(x)\bigr)=5-2\left(\frac{5-x}{2}\right)=5-(5-x)=x,
f^{-1}\bigl(f(x)\bigr)=\frac{5-(5-2x)}{2}=\frac{2x}{2}=x.
As duas composições retornam x, logo a fórmula encontrada é correta.

Passo 8

Resumo final sobre domínio e contradomínio: como f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} é bijetora, a inversa tem domínio \mathbb{R} e contradomínio \mathbb{R}:
f^{-1}:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\qquad f^{-1}(x)=\frac{5-x}{2}.

Resposta

f^{-1}:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\quad f^{-1}(x)=\dfrac{5-x}{2}

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