Resolva em cada caso, o problema de valor inicial:
\frac{d y}{d x}=\cos x, \quad y(0)=1

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial
\frac{dy}{dx} = \cos x, \quad y(0)=1
O conteúdo é resolução de ODE de primeira ordem por integração direta: basta achar a antiderivada de \cos x e depois usar a condição inicial para determinar a constante de integração.

Passo 2

Integramos ambos os lados em relação a x. Como
\int \cos x \, dx = \sin x + C,
a solução geral é
y(x) = \sin x + C.

Passo 3

Aplicamos a condição inicial y(0)=1:
y(0) = \sin(0) + C = 0 + C = C \overset!= 1
Logo C=1.

Resposta

y(x) = \sin x + 1

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