Dê um exemplo algébrico de cada tipo de função.
(c) Função exponencial
(c) Função exponencial
Passo 1
O enunciado pede um exemplo algébrico de função exponencial (item (c)). Não há outras informações no enunciado: a tarefa é simplesmente apresentar um exemplo concreto e, já que queres aprender, vou também explicar passo a passo o que é e como trabalhar com esse tipo de função.
Passo 2
Definição geral. Uma função exponencial tem a forma
onde a variável é
(expoente) e
é a base. As condições sobre
são:
-
(para que seja real para todo ); -
(se a função seria constante: ).
Explicando cada parte: em
,
-
é o número que varia (entrada da função); -
é um número fixo (a base), que determina se a função cresce ou decresce.
Passo 3
Domínio e imagem (intervalos):
- Domínio:
porque faz sentido calcular para qualquer real quando . - Imagem (valor-alvo):
porque potências de são sempre positivas.
Comportamento:
- Se
, é crescente e apresenta crescimento exponencial (rápido). - Se
, é decrescente e apresenta decaimento exponencial. - A função tem assíntota horizontal
(vai se aproximando de zero quando , nunca atinge zero).
Passo 4
Propriedades algébricas úteis (regras de potências) que usaremos sempre:
Cada uma dessas fórmulas é diretamente derivada da definição de potência e serve para simplificar e resolver expressões/exequações exponenciais.
Passo 5
Exemplo concreto (crescimento): escolho a função
Esta é uma função exponencial com base
(que satisfaz
). Vamos calcular valores simples para ver o comportamento:
-
. -
. -
. -
. -
.
Observações: depara o valor sobe rapidamente (1, 2, 4, 8), mostrando crescimento exponencial; para negativo os valores ficam fracionários (reciprocais).
Passo 6
Exemplo concreto (decrescimento): outra forma típica é
Aqui
com
, então
é decrescente. Valores:
-
. -
. -
. -
(note que ).
Passo 7
Resolver equações exponenciais (exemplo passo a passo). Ex.: resolver
.
- Reconhecer que
. - Então
implica (quando as bases são iguais e positivas diferentes de 1, os expoentes devem ser iguais).
Exemplo com número não-poder de: resolver . - Tomar logaritmo natural em ambos os lados:
. - Usar
. - Obter
(este é um número real aproximado ). Aqui é o logaritmo natural (base ).
Passo 8
Ligação com logaritmos (inversa). A inversa de
é
. Isso significa:
Exemplo:
porque
.
Passo 9
Dicas rápidas para prova:
- Para expoentes inteiros use multiplicação/repetição; para negativos use reciprocais; para frações use raízes.
- Se precisas comparar crescer/decair, basta ver se a base
(cresce) ou (decai). - Para resolver
onde não é potência inteira de , aplica logaritmo e isola : . - Memoriza os valores básicos como
, , e algumas potências pequenas (2,3,4) para agilizar cálculos sem calculadora.