Dê um exemplo algébrico de cada tipo de função.
(c) Função exponencial

Passo 1

O enunciado pede um exemplo algébrico de função exponencial (item (c)). Não há outras informações no enunciado: a tarefa é simplesmente apresentar um exemplo concreto e, já que queres aprender, vou também explicar passo a passo o que é e como trabalhar com esse tipo de função.

Passo 2

Definição geral. Uma função exponencial tem a forma
f(x)=a^{x},
onde a variável é x (expoente) e a é a base. As condições sobre a são:
  • a>0 (para que a^{x} seja real para todo x\in\mathbb{R});
  • a\neq1 (se a=1 a função seria constante: 1^{x}=1).
Explicando cada parte: em \,f(x)=a^{x}\,,
  • x é o número que varia (entrada da função);
  • a é um número fixo (a base), que determina se a função cresce ou decresce.

Passo 3

Domínio e imagem (intervalos):
  • Domínio: \mathrm{Dom}(f)=\mathbb{R} porque faz sentido calcular a^{x} para qualquer x real quando a>0.
  • Imagem (valor-alvo): \mathrm{Im}(f)=(0,\infty) porque potências de a>0 são sempre positivas.
Comportamento:
  • Se a>1, f é crescente e apresenta crescimento exponencial (rápido).
  • Se 0<a<1, f é decrescente e apresenta decaimento exponencial.
  • A função tem assíntota horizontal y=0 (vai se aproximando de zero quando x\to-\infty, nunca atinge zero).

Passo 4

Propriedades algébricas úteis (regras de potências) que usaremos sempre:
a^{x+y}=a^{x}\cdot a^{y},
a^{x-y}=\frac{a^{x}}{a^{y}},
\left(a^{x}\right)^{y}=a^{xy},
a^{0}=1,\qquad a^{-x}=\frac{1}{a^{x}},
a^{1/n}=\sqrt[n]{a}\quad(\text{raízes}).í
Cada uma dessas fórmulas é diretamente derivada da definição de potência e serve para simplificar e resolver expressões/exequações exponenciais.

Passo 5

Exemplo concreto (crescimento): escolho a função
f(x)=2^{x}.
Esta é uma função exponencial com base a=2 (que satisfaz a>1). Vamos calcular valores simples para ver o comportamento:
  • f(0)=2^{0}=1.
  • f(1)=2^{1}=2.
  • f(2)=2^{2}=4.
  • f(3)=2^{3}=8.
  • f(-1)=2^{-1}=\dfrac{1}{2}.
    Observações: de x=0 para x=3 o valor sobe rapidamente (1, 2, 4, 8), mostrando crescimento exponencial; para x negativo os valores ficam fracionários (reciprocais).

Passo 6

Exemplo concreto (decrescimento): outra forma típica é
g(x)=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{x}.
Aqui a=\tfrac{1}{2} com 0<a<1, então g é decrescente. Valores:
  • g(0)=1.
  • g(1)=\tfrac{1}{2}.
  • g(2)=\tfrac{1}{4}.
  • g(-1)=2 (note que g(-1)=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{-1}=2).

Passo 7

Resolver equações exponenciais (exemplo passo a passo). Ex.: resolver \,2^{x}=8\,.
  1. Reconhecer que 8=2^{3}.
  2. Então 2^{x}=2^{3} implica x=3 (quando as bases são iguais e positivas diferentes de 1, os expoentes devem ser iguais).
    Exemplo com número não-poder de 2: resolver \,2^{x}=5.
  3. Tomar logaritmo natural em ambos os lados: \ln(2^{x})=\ln 5.
  4. Usar \ln(2^{x})=x\ln 2.
  5. Obter x=\dfrac{\ln 5}{\ln 2} (este é um número real aproximado x\approx 2,3219). Aqui \ln é o logaritmo natural (base e).

Passo 8

Ligação com logaritmos (inversa). A inversa de \,f(x)=a^{x}\, é \,f^{-1}(x)=\log_{a}x. Isso significa:
y=a^{x}\quad\Longleftrightarrow\quad x=\log_{a}y.
Exemplo: \log_{2}8=3 porque 2^{3}=8.

Passo 9

Dicas rápidas para prova:
  • Para expoentes inteiros use multiplicação/repetição; para negativos use reciprocais; para frações use raízes.
  • Se precisas comparar crescer/decair, basta ver se a base a>1 (cresce) ou 0<a<1 (decai).
  • Para resolver a^{x}=b onde b não é potência inteira de a, aplica logaritmo e isola x: x=\dfrac{\ln b}{\ln a}.
  • Memoriza os valores básicos como a^{0}=1, a^{1}=a, e algumas potências pequenas (2,3,4) para agilizar cálculos sem calculadora.

Resposta

f(x)=2^{x}

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