Resolva cada uma das EDOs ou PVIs seguintes:
d yd x=-yx, y(1)=3;

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa Equação Diferencial Ordinária (EDO) que a gente tem aqui: dydx = -yx, com a condição inicial y(1) = 3. A matéria que estamos usando aqui é Equações Diferenciais, especificamente as que são separáveis. Vamos precisar separar as variáveis y e x para conseguir integrar e achar a solução dessa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que essa EDO é do tipo separável. Isso significa que conseguimos escrever a equação de forma que todos os termos com y fiquem de um lado e os termos com x do outro lado. A equação que temos é:
dydx = -yx
Podemos reescrever essa equação para separar as variáveis:
dyy = -dxx

Passo 3

Agora que conseguimos separar as variáveis, vamos integrar os dois lados da equação. A integração vai nos ajudar a encontrar uma relação entre y e x.
Integrando o lado esquerdo em relação a y:
integral 1y , dy = ln|y| + C1
E integrando o lado direito em relação a x:
integral -1x , dx = -ln|x| + C2

Passo 4

Vamos juntar as integrais:
ln|y| = -ln|x| + C
Onde C é a constante de integração resultante da diferença entre C1 e C2. Podemos simplificar isso multiplicando ambos os lados por e para se livrar dos logaritmos:
e^ln|y| = e^-ln|x| + C implies |y| = e^C cdot x^-1
Podemos simplificar e^C para uma nova constante k:
y = kx

Passo 5

Agora, vamos usar a condição inicial y(1) = 3 para encontrar o valor de k. Substituindo x = 1 e y = 3 na equação:
3 = k1 implies k = 3

Resposta

A solução da EDO é:
y(x) = 3x

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