Resolva cada uma das EDOs ou PVIs seguintes:
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa Equação Diferencial Ordinária (EDO) que a gente tem aqui:
, com a condição inicial
. A matéria que estamos usando aqui é Equações Diferenciais, especificamente as que são separáveis. Vamos precisar separar as variáveis
e
para conseguir integrar e achar a solução dessa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que essa EDO é do tipo separável. Isso significa que conseguimos escrever a equação de forma que todos os termos com
fiquem de um lado e os termos com
do outro lado. A equação que temos é:
Podemos reescrever essa equação para separar as variáveis:
Passo 3
Agora que conseguimos separar as variáveis, vamos integrar os dois lados da equação. A integração vai nos ajudar a encontrar uma relação entre
e
.
Integrando o lado esquerdo em relação a
:
E integrando o lado direito em relação a
:
Passo 4
Vamos juntar as integrais:
Onde
é a constante de integração resultante da diferença entre
e
. Podemos simplificar isso multiplicando ambos os lados por
para se livrar dos logaritmos:
Podemos simplificar
para uma nova constante
:
Passo 5
Agora, vamos usar a condição inicial
para encontrar o valor de
. Substituindo
e
na equação:
Resposta
A solução da EDO é: