Resolva cada uma das EDOs ou PVIs seguintes:
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Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
x√(1+y²)=y√(1+x²)·dy/dx
Isso é um caso de EDO separável: a gente vai reorganizar para deixar os termos em y de um lado e os termos em x do outro, e depois integrar. Para isso, precisamos lembrar que d/dt[√(1+t²)]=t/√(1+t²).
x√(1+y²)=y√(1+x²)·dy/dx
Isso é um caso de EDO separável: a gente vai reorganizar para deixar os termos em y de um lado e os termos em x do outro, e depois integrar. Para isso, precisamos lembrar que d/dt[√(1+t²)]=t/√(1+t²).
Passo 2
Primeiro isolamos dy/dx:
Agora separamos as variáveis colocando tudo que envolve y num lado e tudo que envolve x no outro:
Passo 3
Em seguida integramos cada lado. Do lado esquerdo usamos que
e do lado direito
Igualando e agrupando as constantes num único C, obtemos
Passo 4
Essa expressão é a solução geral implícita da EDO. Se quiser, dá para isolar y escrevendo
e daí
Resposta
A solução geral implícita é