Resolva cada equação em x. Forneça o valor exato e uma aproximação decimal com três casas decimais.
e^{2 x-3}=12

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação \displaystyle e^{2x-3}=12 em x.
Informações fornecidas: a incógnita é x, o lado esquerdo é uma exponencial com base \displaystyle e (a base dos logaritmos naturais) e o lado direito é o número \displaystyle 12.
Resultado esperado: encontrar o valor exato de x (se possível em termos de \ln) e uma aproximação decimal com três casas decimais.

Passo 2

Ideia geral para resolver equações exponenciais como \displaystyle e^{\text{algo}}=\text{número}ú: aplicamos o logaritmo natural \displaystyle \ln (log de base e) nos dois lados. Porque a função \displaystyle \ln é a inversa da exponencial de base \displaystyle e, ou seja, para todo número real y temos \displaystyle \ln\big(e^{y}\big)=y. Isso nos permite “tirar” o expoente. Vou usar essa propriedade agora.

Passo 3

Aplicando \displaystyle \ln em ambos os lados da equação \displaystyle e^{2x-3}=12, obtemos:
\ln\big(e^{2x-3}\big)=\ln(12).
Pelo fato de \displaystyle \ln ser a função inversa de \displaystyle e^{(\cdot)}, o lado esquerdo simplifica para o expoente:
2x-3=\ln(12).

Passo 4

Agora temos uma equação linear em \displaystyle x. Isolamos \displaystyle x:
2x=3+\ln(12)
x=\frac{3+\ln(12)}{2}.
Essa é a forma exata da solução — escrevemos em termos de \displaystyle \ln porque \displaystyle \ln(12) não tem uma forma elementar mais simples.

Passo 5

Para obter a aproximação decimal com três casas, precisamos avaliar \displaystyle \ln(12). Podemos decompor \displaystyle 12=3\cdot 4 e usar \displaystyle \ln(12)=\ln(3)+\ln(4), com \displaystyle \ln(4)=2\ln(2). Valores numéricos conhecidos (de calculadora) são \displaystyle \ln(2)\approx 0,693147 e \displaystyle \ln(3)\approx 1,098612. Assim:
\ln(12)\approx 1,098612+2\cdot 0,693147=1,098612+1,386294=2,484906.
Substituindo em \displaystyle x=\dfrac{3+\ln(12)}{2}:
x\approx \frac{3+2,484906}{2}=\frac{5,484906}{2}=2,742453.
Arredondando para três casas decimais, \displaystyle x\approx 2,742.

Passo 6

Verificação rápida (checar consistência): usando \displaystyle x\approx 2,742453,
2x-3\approx 2\cdot 2,742453-3=5,484906-3=2,484906,
e \displaystyle e^{2,484906}\approx 12. Isso confirma que a solução está correta (dentro do arredondamento).

Resposta

\displaystyle x=\frac{3+\ln(12)}{2}
\displaystyle x\approx 2{,}742

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