Múltipla escolha Qual das seguintes funções é a inversa de f(x)=2 \cdot 3^{x} ?
(a) f^{-1}(x)=\log _{3}(x / 2)
(b) f^{-1}(x)=\log _{2}(x / 3)
(c) f^{-1}(x)=2 \log _{3}(x)
(d) f^{-1}(x)=3 \log _{2}(x)
(e) f^{-1}(x)=0,5 \log _{3}(x)

Passo 1

O enunciado pede: “Qual das seguintes funções é a inversa de f(x)=2\cdot 3^{x}?”
As informações dadas são:
  • A função original é f(x)=2\cdot 3^{x}.
  • Temos cinco opções (a) a (e) listadas no enunciado.
    A nossa tarefa é encontrar a função inversa f^{-1} de f e escolher qual das opções corresponde a ela.

Passo 2

O que significa “função inversa”? De forma prática e intuitiva: se y=f(x), a inversa f^{-1} é a função que recupera x a partir de y. Em notação,
f^{-1}(f(x))=x\quad\text{e}\quad f(f^{-1}(x))=x.
Então a estratégia é escrever y=f(x), resolver essa igualdade para x em função de y, e então trocar o nome da variável y por x para obter f^{-1}(x). Vou fazer isso passo a passo.

Passo 3

Começo escrevendo a definição da função com y:
y=2\cdot 3^{x}.
Agora isolamos o termo exponencial. Dividindo ambos os lados por 2,
\frac{y}{2}=3^{x}.

Passo 4

Para “desfazer” a exponenciação 3^{x} usamos o logaritmo de base 3. Lembrete rápido e didático sobre logaritmo: \log_{3}(A) é o número que, quando colocado como expoente da base 3, dá A. Ou seja,
3^{\log_{3}(A)}=A
e
\log_{3}(3^{B})=B.
Aplicando \log_{3} em ambos os lados de \dfrac{y}{2}=3^{x} obtemos
\log_{3}\!\left(\frac{y}{2}\right)=\log_{3}\!\big(3^{x}\big).
Pelo fato \log_{3}(3^{x})=x, concluímos
x=\log_{3}\!\left(\frac{y}{2}\right).

Passo 5

Troco o papel das variáveis (substituo y por x) para escrever a inversa na forma usual:
f^{-1}(x)=\log_{3}\!\left(\frac{x}{2}\right).
Essa é a expressão encontrada algebraicamente. Agora vou verificar rapidamente por composição para ter certeza.

Passo 6

Verificação por composição: calcule f(f^{-1}(x)). Substituindo f^{-1}(x)=\log_{3}\!\left(\dfrac{x}{2}\right) em f,
f\big(f^{-1}(x)\big)=2\cdot 3^{\,\log_{3}\!\left(\frac{x}{2}\right)}.
Pela propriedade 3^{\log_{3}(u)}=u, isso simplifica para
2\cdot \frac{x}{2}=x.
Portanto a composição retorna x, o que confirma que \displaystyle f^{-1}(x)=\log_{3}\!\left(\frac{x}{2}\right) é de fato a inversa.

Passo 7

Comparando com as opções dadas, a que bate exatamente é a opção (a). As outras opções estão incorretas porque mudam a base do logaritmo ou introduzem fatores que não correspondem à inversão correta (por exemplo, multiplicar o logaritmo por 2 daria, ao compor, algo como 2\cdot x^{2}, não x; ou usar \log_{2} troca a base e não simplifica diretamente para x).

Resposta

(a) f^{-1}(x)=\log_{3}\!\left(\dfrac{x}{2}\right)

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