Múltipla escolha Qual das seguintes funções é a inversa de
?
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Passo 1
O enunciado pede: “Qual das seguintes funções é a inversa de
?”
As informações dadas são:
As informações dadas são:
- A função original é
. - Temos cinco opções (a) a (e) listadas no enunciado.
A nossa tarefa é encontrar a função inversade e escolher qual das opções corresponde a ela.
Passo 2
O que significa “função inversa”? De forma prática e intuitiva: se
, a inversa
é a função que recupera
a partir de
. Em notação,
Então a estratégia é escrever
, resolver essa igualdade para
em função de
, e então trocar o nome da variável
por
para obter
. Vou fazer isso passo a passo.
Passo 3
Começo escrevendo a definição da função com
:
Agora isolamos o termo exponencial. Dividindo ambos os lados por
,
Passo 4
Para “desfazer” a exponenciação
usamos o logaritmo de base
. Lembrete rápido e didático sobre logaritmo:
é o número que, quando colocado como expoente da base
, dá
. Ou seja,
e
Aplicando
em ambos os lados de
obtemos
Pelo fato
, concluímos
Passo 5
Troco o papel das variáveis (substituo
por
) para escrever a inversa na forma usual:
Essa é a expressão encontrada algebraicamente. Agora vou verificar rapidamente por composição para ter certeza.
Passo 6
Verificação por composição: calcule
. Substituindo
em
,
Pela propriedade
, isso simplifica para
Portanto a composição retorna
, o que confirma que
é de fato a inversa.
Passo 7
Comparando com as opções dadas, a que bate exatamente é a opção (a). As outras opções estão incorretas porque mudam a base do logaritmo ou introduzem fatores que não correspondem à inversão correta (por exemplo, multiplicar o logaritmo por
daria, ao compor, algo como
, não
; ou usar
troca a base e não simplifica diretamente para
).
Resposta
(a)