Resolva cada inequação.
f) (2 x+1)\left(x^{2}+x+1\right)<0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
(2x+1)\left(x^{2}+x+1\right)<0.
Informações dadas: a expressão é produto de dois fatores, 2x+1 (fator linear) e x^{2}+x+1 (fator quadrático). A tarefa é encontrar todos os valores reais de x que tornam esse produto negativo.

Passo 2

Regra usada (explicação curta e intuitiva): o produto de dois números é negativo quando um dos fatores é negativo e o outro é positivo. Então precisamos estudar o sinal de cada um dos fatores para todos os x.

Passo 3

Estudo do fator quadrático \,x^{2}+x+1.
Calculo do discriminante para saber se tem raízes reais:
\Delta = b^{2}-4ac = 1^{2}-4\cdot1\cdot1 = 1-4 = -3.
Como \Delta<0, a parábola não corta o eixo real: não tem raízes reais. Como o coeficiente líder é a=1>0, isso significa que
x^{2}+x+1>0\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R}.
Para acostumar, um teste numérico rápido: em x=0 temos 0^{2}+0+1=1>0, consistente com isso.

Passo 4

Conclusão sobre o papel do quadrático: como \,x^{2}+x+1>0 para todo x, o sinal do produto (2x+1)(x^{2}+x+1) é o mesmo do sinal de 2x+1. Logo a inequação original é equivalente a
2x+1<0.

Passo 5

Resolver a inequação linear \,2x+1<0.
Subtrair 1 dos dois lados:
2x<-1.
Dividir por 2 (número positivo, então a desigualdade não se inverte):
x<-\tfrac{1}{2}.

Passo 6

Verificação rápida com pontos:
  • Escolhendo x=-1 (que satisfaz x<-\tfrac{1}{2}): 2x+1=-1 e x^{2}+x+1=1, produto -1<0 — ok.
  • Escolhendo x=0 (que não satisfaz): 2x+1=1 e x^{2}+x+1=1, produto 1>0 — ok.
Como a desigualdade é estrita (<0), o ponto x=-\tfrac{1}{2} (onde 2x+1=0) não pertence à solução.

Resposta

x<-\tfrac{1}{2}

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