Resolva cada inequação.
e) x^{2}-x-9 \geq 0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
x^{2}-x-9 \geq 0.
Informações dadas e claras: a expressão é um polinômio quadrático de coeficientes a=1, b=-1, c=-9. A incógnita é x e queremos todos os valores de x que tornam a expressão maior ou igual a zero. Não vamos resolver nada ainda — apenas identificamos o que é pedido e os dados.

Passo 2

Estratégia (explicada passo a passo, didática):
  • Primeira coisa útil: as raízes (zeros) do polinômio x^{2}-x-9 são pontos críticos que dividem a reta em intervalos onde o sinal do polinômio é constante. Então encontramos essas raízes resolvendo a equação quadrática x^{2}-x-9=0.
  • Para achar as raízes de uma equação quadrática ax^{2}+bx+c=0 usamos a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática):
x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a},
onde \Delta é o discriminante dado por
\Delta=b^{2}-4ac.
O discriminante nos diz quantas raízes reais existem:
  • se \Delta>0 há duas raízes reais distintas;
  • se \Delta=0 há uma raiz real (dupla);
  • se \Delta<0 não há raízes reais.
  • Depois de obter as raízes, como o coeficiente a=1 é positivo, o gráfico é uma parábola voltada para cima. Isso implica que a expressão quadrática é positiva fora do intervalo entre as raízes e negativa dentro desse intervalo. Como temos uma inequação com \geq 0, aceitaremos também os pontos onde ela é zero (as raízes).

Passo 3

Calculemos o discriminante e as raízes.
O discriminante é
\Delta = b^{2}-4ac = (-1)^{2}-4\cdot 1\cdot(-9)=1+36=37.
Como \Delta=37>0, há duas raízes reais distintas. Aplicando a fórmula:
x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-(-1)\pm\sqrt{37}}{2\cdot 1}=\frac{1\pm\sqrt{37}}{2}.
Portanto as duas raízes são
x_{1}=\frac{1-\sqrt{37}}{2}\quad\text{e}\quad x_{2}=\frac{1+\sqrt{37}}{2},
sendo x_{1}<x_{2}. (Se quiser uma aproximação numérica: \sqrt{37}\approx 6,0828, logo x_{1}\approx-2,5414 e x_{2}\approx 3,5414.)

Passo 4

Análise do sinal (explicação didática):
  • Podemos escrever x^{2}-x-9=(x-x_{1})(x-x_{2}), onde x_{1} e x_{2} são as raízes calculadas.
  • Como o coeficiente de x^{2} é a=1>0, a parábola abre para cima. Isso implica que o produto (x-x_{1})(x-x_{2}) é:
    • positivo (maior que zero) quando x<x_{1} ou quando x>x_{2};
    • negativo (menor que zero) quando x_{1}<x<x_{2};
    • igual a zero quando x=x_{1} ou x=x_{2}.
  • Nossa inequação pede \geq 0, ou seja, queremos onde a expressão é positiva ou zero. Portanto aceitamos os intervalos onde o polinômio é positivo e também os pontos onde é zero.
  • Para checar rapidamente com exemplos: tomando x=0 (que está entre as raízes) temos 0^{2}-0-9=-9<0, concordando que no intervalo entre raízes é negativo; tomando x=4 (maior que x_{2}) temos 4^{2}-4-9=3>0, concordando que fora das raízes é positivo.

Passo 5

Conclusão lógica (sem repetir o conjunto final formatado): portanto os x que satisfazem \,x^{2}-x-9\geq 0\, são todos os x menores ou iguais à raiz menor x_{1}=\dfrac{1-\sqrt{37}}{2} e todos os x maiores ou iguais à raiz maior x_{2}=\dfrac{1+\sqrt{37}}{2}. Lembre-se de incluir as raízes porque a desigualdade é “maior ou igual”.

Resposta

\displaystyle (-\infty,\;\frac{1-\sqrt{37}}{2}] \;\cup\; [\frac{1+\sqrt{37}}{2},\;+\infty)

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