Resolva cada inequação.
e)
e)
Passo 1
O enunciado pede para resolver a inequação
Informações dadas e claras: a expressão é um polinômio quadrático de coeficientes
,
,
. A incógnita é
e queremos todos os valores de
que tornam a expressão maior ou igual a zero. Não vamos resolver nada ainda — apenas identificamos o que é pedido e os dados.
Passo 2
Estratégia (explicada passo a passo, didática):
- Primeira coisa útil: as raízes (zeros) do polinômio
são pontos críticos que dividem a reta em intervalos onde o sinal do polinômio é constante. Então encontramos essas raízes resolvendo a equação quadrática . - Para achar as raízes de uma equação quadrática
usamos a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática):
onde
é o discriminante dado por
O discriminante nos diz quantas raízes reais existem:
- se
há duas raízes reais distintas; - se
há uma raiz real (dupla); - se
não há raízes reais. - Depois de obter as raízes, como o coeficiente
é positivo, o gráfico é uma parábola voltada para cima. Isso implica que a expressão quadrática é positiva fora do intervalo entre as raízes e negativa dentro desse intervalo. Como temos uma inequação com , aceitaremos também os pontos onde ela é zero (as raízes).
Passo 3
Calculemos o discriminante e as raízes.
O discriminante é
O discriminante é
Como
, há duas raízes reais distintas. Aplicando a fórmula:
Portanto as duas raízes são
sendo
. (Se quiser uma aproximação numérica:
, logo
e
.)
Passo 4
Análise do sinal (explicação didática):
- Podemos escrever
, onde e são as raízes calculadas. - Como o coeficiente de
é , a parábola abre para cima. Isso implica que o produto é: - positivo (maior que zero) quando
ou quando ; - negativo (menor que zero) quando
; - igual a zero quando
ou .
- positivo (maior que zero) quando
- Nossa inequação pede
, ou seja, queremos onde a expressão é positiva ou zero. Portanto aceitamos os intervalos onde o polinômio é positivo e também os pontos onde é zero. - Para checar rapidamente com exemplos: tomando
(que está entre as raízes) temos , concordando que no intervalo entre raízes é negativo; tomando (maior que ) temos , concordando que fora das raízes é positivo.
Passo 5
Conclusão lógica (sem repetir o conjunto final formatado): portanto os
que satisfazem
são todos os
menores ou iguais à raiz menor
e todos os
maiores ou iguais à raiz maior
. Lembre-se de incluir as raízes porque a desigualdade é “maior ou igual”.