Resolva cada uma das integrais a seguir
\int \cos ^{5} x dx

Passo 1

O enunciado pede a antiderivada de \cos^5 x. O conteúdo é integração de potências ímpares de cosseno e vamos usar a identidade de redução de potência junto com a substituição trigonométrica para transformar a integral num polinômio em \sin x.

Passo 2

Separamos um fator de \cos x para usar como diferencial na substituição, escrevendo \cos^5 x = \cos^4 x\cos x. Como \cos^2 x = 1 - \sin^2 x, temos \cos^4 x = (1 - \sin^2 x)^2. Assim,
\int \cos^5 x \, dx = \int (1 - \sin^2 x)^2 \,\cos x \, dx.

Passo 3

Fazemos a substituição
u = \sin x, \quad du = \cos x \, dx
para transformar a integral em função de u:
\int (1 - \sin^2 x)^2 \,\cos x \, dx = \int (1 - u^2)^2 \, du.

Passo 4

Expandimos o integrando e integramos termo a termo:
(1 - u^2)^2 = 1 - 2u^2 + u^4,
portanto
\int (1 - u^2)^2 \, du = \int \bigl(1 - 2u^2 + u^4\bigr) du = u - \frac{2}{3}u^3 + \frac{1}{5}u^5 + C.

Passo 5

Voltando para x pela substituição u = \sin x, obtemos a antiderivada final:
\sin x - \frac{2}{3}\sin^3 x + \frac{1}{5}\sin^5 x + C.

Resposta

\sin x - \frac{2}{3}\sin^3 x + \frac{1}{5}\sin^5 x + C

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