Resolva cada uma das integrais a seguir
\int \cos ^{2} \frac{x}{2} dx

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \cos^2\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)\,dx.
O conteúdo principal é redução de potência em funções trigonométricas: vamos usar a identidade que transforma \cos^2 em termos de \cos de ângulo duplo.

Passo 2

Aplicamos a identidade de redução de potência
\cos^2(u)=\frac{1+\cos(2u)}{2},
com u=\tfrac{x}{2}. Como 2u=x, temos
\cos^2\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr) =\frac{1+\cos(x)}{2}.

Passo 3

Substituindo na integral, fica
\int \cos^2\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)\,dx =\int \frac{1+\cos(x)}{2}\,dx =\frac{1}{2}\int\bigl(1+\cos(x)\bigr)\,dx.

Passo 4

Integramos termo a termo:
\frac{1}{2}\int 1\,dx =\frac{x}{2}, \qquad \frac{1}{2}\int \cos(x)\,dx =\frac{1}{2}\sin(x).
Somando e incluindo a constante de integração C, obtemos a primitiva.

Resposta

\int \cos^2\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)\,dx =\frac{x}{2}+\frac{\sin(x)}{2}+C.

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