Resolva cada uma das seguintes equações diferenciais ou problemas de valor inicial abaixo:
y^{\prime}+2 x y=2 x e^{x^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
y' + 2x\,y = 2x\,e^{x^2}.
O conteúdo necessário é o método da equação linear, ou seja, identificar o fator integrante e usá-lo para escrever o lado esquerdo como derivada de um produto.

Passo 2

Calculamos o fator integrante \mu(x). Para a equação
y' + p(x)\,y = q(x)
com p(x)=2x, temos
\mu(x) = e^{\int p(x)\,dx} = e^{\int 2x\,dx} = e^{x^2}.

Passo 3

Multiplicamos toda a equação por \mu(x)=e^{x^2}. Isso dá
e^{x^2}y' + 2x\,e^{x^2}y = 2x\,e^{x^2}\,e^{x^2}
ou seja
\bigl(y\,e^{x^2}\bigr)' = 2x\,e^{2x^2}.

Passo 4

Integramos os dois lados em relação a x:
y\,e^{x^2} = \int 2x\,e^{2x^2}\,dx + C.
Fazendo a substituição t = x^2, dt = 2x\,dx, obtemos
\int 2x\,e^{2x^2}\,dx = \int e^{2t}\,dt = \tfrac12\,e^{2t} = \tfrac12\,e^{2x^2}.
Logo
y\,e^{x^2} = \tfrac12\,e^{2x^2} + C.

Passo 5

Isolando y, dividimos por e^{x^2}:
y = \tfrac12\,e^{2x^2 - x^2} + C\,e^{-x^2} = \tfrac12\,e^{x^2} + C\,e^{-x^2}.

Resposta

A solução geral da equação é
y(x) = \frac12\,e^{x^2} + C\,e^{-x^2},
onde C é constante arbitrária.

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