Resolva cada uma das seguintes equações diferenciais ou problemas de valor inicial abaixo:
y^{\prime}-2 y=e^{2 x}, y(0)=2.

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO
y' - 2y = e^{2x}
com condição inicial y(0)=2. Trata-se de uma equação diferencial linear de primeira ordem. Vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Calculamos o fator integrante
\mu(x) = e^{-\int 2\,dx} = e^{-2x}.
Multiplicando a equação original por \mu(x), obtemos
e^{-2x}y' - 2e^{-2x}y = e^{-2x}e^{2x} = 1.
O lado esquerdo é a derivada do produto:
\frac{d}{dx}\bigl(e^{-2x}y\bigr) = 1.

Passo 3

Integramos ambos os lados em função de x:
e^{-2x}y = \int 1\,dx = x + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Isolando y, a solução geral é
y = e^{2x}(x + C).

Passo 5

Impondo y(0)=2, temos
2 = e^{0}(0 + C)\;\Longrightarrow\;C = 2.

Resposta

y = e^{2x}(x + 2).

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