Resolva cada um dos seguintes sistemas:
2 x_{1}+x_{2}=8
4 x_{1}-3 x_{2}=6

Passo 1

O enunciado nos dá um sistema de duas equações lineares com duas incógnitas. Vou listar exatamente o que foi fornecido e o que é pedido.
  • Sistema fornecido:
\begin{cases} 2x_{1}+x_{2}=8,\\[4pt] 4x_{1}-3x_{2}=6. \end{cases}
  • O que o problema pede: encontrar os valores de x_{1} e x_{2} que satisfazem simultaneamente as duas equações (ou seja, resolver o sistema).]

Passo 2

Escolha do método e ideia básica. Vou usar o método da eliminação (combinar as equações para eliminar uma incógnita), porque aqui é rápido e direto: consigo eliminar x_{1} multiplicando a primeira equação por um número apropriado e somando com a segunda.
Breve explicação do método da eliminação: a ideia é multiplicar cada equação por constantes de modo que, ao somá-las (ou subtraí-las), um dos termos em x_{1} ou x_{2} desapareça. Assim sobra uma equação com uma única incógnita, que pode ser resolvida facilmente.

Passo 3

Multiplicar a primeira equação por -2 para obter coeficientes de x_{1} opostos aos da segunda equação:
-2\cdot(2x_{1}+x_{2}=8)\;\Rightarrow\;-4x_{1}-2x_{2}=-16.
Agora escrevo a segunda equação abaixo para somar:
4x_{1}-3x_{2}=6.

Passo 4

Somar as duas equações obtidas para eliminar x_{1}:
(-4x_{1}-2x_{2})+(4x_{1}-3x_{2}) = -16 + 6.
Os termos em x_{1} se cancelam, sobrando:
-5x_{2} = -10.
Resolver para x_{2}:
x_{2} = \frac{-10}{-5} = 2.

Passo 5

Substituir x_{2}=2 em uma das equações originais para encontrar x_{1}. Uso a primeira equação porque é simples:
2x_{1}+x_{2}=8 \quad\Rightarrow\quad 2x_{1}+2=8.
Isolando x_{1}:
2x_{1}=8-2=6,
x_{1}=\frac{6}{2}=3.

Passo 6

Verificação (sempre bom checar na prova): substituir (x_{1},x_{2})=(3,2) na segunda equação:
4x_{1}-3x_{2}=4\cdot 3 -3\cdot 2 =12-6=6,
que é igual ao lado direito original 6. Portanto a solução está correta.

Passo 7

Comentário sobre unicidade: para um sistema 2\times2 com matriz de coeficientes
A=\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]4 & -3\end{pmatrix}
o determinante é
\det(A)=2\cdot(-3)-4\cdot 1=-6-4=-10\neq 0.
Como o determinante é diferente de zero, o sistema tem solução única (o que confirma o resultado encontrado).]

Resposta

x_{1}=3
x_{2}=2

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