Resolva cada sistema abaixo pelo método de eliminação de Gauss-Jordan.
\left\{\begin{array}{c}x+y+z=1 \\\\ -x+y+2 z=0 \\\ x+3 y+4 z=3\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema
\begin{cases} x+y+z=1,\\\\ -x+y+2z=0,\\\ x+3y+4z=3, \end{cases}
e pede para resolver pelo método de Gauss–Jordan. Vamos montar a matriz aumentada e transformá-la em forma reduzida para ver se encontramos uma solução ou detectamos inconsistência.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada do sistema:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 1\\\\ -1 & 1 & 2 & 0\\\\ 1 & 3 & 4 & 3 \end{array}\right].

Passo 3

Usamos o pivô da primeira linha (coeficiente 1 de x) para eliminar x nas linhas 2 e 3:
  • Linha 2 \to Linha 2+ Linha 1)
  • Linha 3 \to Linha 3 − Linha 1)
    Isso produz
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 1\\\\ 0 & 2 & 3 & 1\\\\ 0 & 2 & 3 & 2 \end{array}\right].

Passo 4

Normalizamos a linha 2 para ter pivô 1 em y, fazendo Linha 2 \to \tfrac12 \timesLinha 2:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 1\\\\ 0 & 1 & \frac{3}{2} & \frac{1}{2}\\\\ 0 & 2 & 3 & 2 \end{array}\right].

Passo 5

Usamos o pivô da linha 2 para zerar o coeficiente de y em linha 1 e linha 3:
  • Linha 1 \to Linha 1 − Linha 2)
  • Linha 3 \to Linha 3 − 2\timesLinha 2)
    Isso leva a
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\\\ 0 & 1 & \frac{3}{2} & \frac{1}{2}\\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].
A terceira linha diz 0x+0y+0z=1, ou seja, 0=1, o que é impossível.

Resposta

O sistema é incompatível (não tem solução).

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